﻿Nachtrag. 431 



Im ersten Falle ist daher wiederum nach Art. V die Form / gleich 

 einem Aggregat 



iC^'-fröü + g + cy, 



k 



wo (§', %' resp. die Conjugirten von (S , g bedeuten, und hieraus 

 folgt ganz ebenso wie oben die nachzuweisende Reduction. Dabei 

 können übrigens keine der Formen @ & zu den oben mit ©° be- 

 zeichneten Formen gehören, da alsdann die Determinante der Form 

 (& k + <?©& und also auch die der Form / gleich Null wäre. Wenn 

 endlich im zweiten Falle die Form / gleich cp + \// ist, so lässt 

 sie sich nach Art. VI durch congruente Substitutionen so umwan- 

 deln, dass sich von der Transformirten ein Aggregat von Formen 

 @ absondert, und da für die übrigbleibende Form, welche weniger 

 Variabein als / enthält, jene Reduction auf ein Aggregat von lau- 

 ter Formen @ und © vorausgesetzt werden kann, so ist auch in 

 diesem Falle die in Rede stehende Transformation bilinearer For- 

 men nachgewiesen. 



Die in der reducirten Form enthaltenen Coefficienten c und c' 

 ebenso wie die Coefficienten der Substitution, mittels deren die 

 Form / in ihre Reducirte übergeht, sind rational aus denen von / 

 und aus den verschiedenen Werthen von w zusammengesetzt, wo- 

 für die Determinante von 



verschwindet, resp. aus denjenigen, wofür die sämmtlichen Unter- 

 determinanten je einer und derselben Ordnung gleichzeitig Null 

 werden. 1 ) Überdiess enthalten jene Coefficienten, und zwar eben- 

 falls in rationaler Weise, die allgemeinen, unbestimmten Coefficien- 

 ten der mit @ u , @i 2 , ©22 bezeichneten Substitutionen des Ab- 

 schnitts V, § 1, da eben diese Substitutionen bei den in den Artt. 

 III bis VI entwickelten Transformationen, auf welchen schliesslich 

 die Reduction basirt, implicite benutzt sind. Auf diese Weise 

 kann, soweit nämlich die Unbestimmtheit jener allgemeinen Coef- 

 ficienten in der finalen Transformation erhalten bleibt, eine gewisse 

 Mannigfaltigkeit von Reductionen für eine und dieselbe Form re- 

 sultiren, woraus alsdann ganz unmittelbar eine eben solche Man- 



*) Die erwähnten Werthe von w sind Invarianten, wie im folgenden 

 Paragraphen näher ausgeführt wird. 



