﻿432 Nachtrag. 



nigfaltigkeit von congruenten Transformationen einer Form in sich 

 selbst hervorgeht. Doch kann man zu denselben Transformatio- 

 nen auch dadurch gelangen, dass man die Variabein der Reducir- 

 ten selbst durch allgemeine lineare Functionen von ebenso viel 

 neuen Veränderlichen ersetzt, und die auf diese Weise entstehende 

 bilineare Form wiederum nach den obigen Vorschriften in eine 

 „Reducirte" transformirt. 



§3. 



Die Bedingungen für die Transformirbarkeit bilinearer Formen mittels 

 eongruenter Substitutionen. 



I. Wenn zwei bilineare Formen / und f durch eine für beide 

 Reihen von Variabein congruente Substitution S, deren Determi- 

 nante von Null verschieden ist, in einander transformirt werden 

 können, so sollen sie im Folgenden als „äquivalent" bezeichnet 

 und zu einer und derselben „Classe" gerechnet werden. Sind /' 

 und f resp. die zu / und f conjugirten Formen, so gehen auch 

 /' und f durch die Substitution S in einander über, und die bei- 

 den Paare conjugirter Formen (/, /') und (f , f) sind also simul- 

 tan in einander transformirbar. Bezeichnet man nun zwei Sy- 

 steme von je zwei bilinearen Formen als einander äquivalent, 

 wenn die beiden Formen des einen Systems durch irgend eine 

 lineare Substitution in die entsprechenden des andern simultan 

 übergeführt werden können, so zeigt sich die Äquivalenz der bei- 

 den Systeme conjugirter Formen (/,/') und (f , f) als eine un- 

 mittelbare Folge der Äquivalenz der beiden Formen / und f. Dass 

 aber auch umgekehrt die Äquivalenz der beiden Formen / und f 

 aus derjenigen der Systeme (/, /') und (f , f) resultirt, dass also 

 zwei Paare conjugirter bilinearer Formen, welche überhaupt durch 

 irgend eine lineare Substitution simultan in einander übergehen, 

 stets auch durch congruente Substitutionen in einander trans- 

 formirbar sind, soll erst weiterhin mit Hilfe der Ergebnisse des 

 vorigen Paragraphen nachgewiesen werden. 



II. Wenn (/ , /) c*> (f , f) ist, d. h. wenn die beiden Sy- 

 steme von Formen (/,/') und (f , f) einander äquivalent sind, 

 so unterscheidet sich die Determinante der beiden Formen 



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