﻿434 Nachtrag, 



Systeme von Formen (/,/')■ — Es giebt hiernach zweierlei In- 

 varianten von Systemen (/,/'), nämlich erstens jene \x Zahlen st, 

 und zweitens eine Reihe ganzer homogener, symmetrischer Func- 

 tionen von u und v 



P s O , ») (« -— f», M+1j .« »— 1), 



welche dadurch definirt sind, dass P s den grössten gemeinsamen 

 Theiler der sämmtlichen aus den n 2 Elementen 



9 2 / 3 2 / 



3^3y* 9**3y» 



zu bildenden Determinanten (n — s)ter Ordnung repräsentirt. Die 

 Functionen P sind auf diese Weise bis auf einen constanten Fac- 

 tor völlig bestimmt, und dieser kann irgendwie, z. B. so fixirt 

 werden, dass die Coefficienten derjenigen beiden Glieder, in denen 

 u und v zur höchsten Potenz erhoben vorkommen, gleich Eins sind. 

 Versteht man unter f eine bilineare Function der 2n Grössen x, y 

 mit unbestimmten (oder variabeln) Coefficienten, so sind die 

 Functionen P auch dadurch zu charakterisiren, dass der Coefficient 

 von w s in der Entwickelung der Determinante von 



uf H- vf + wf 

 die Function P s , aber ausserdem keine Function von u und v als 

 Factor enthält, deren Coefficienten von denen der Function f un- 

 abhängig wären, und es tritt hierbei in Evidenz, dass die Func- 

 tionen P bei irgend welcher simultanen Transformation von / und 

 /' unverändert bleiben. Da die (a-l)ten Unterdeterminanten von 

 u f + *>/' als verschwindend vorausgesetzt sind, so fängt die Ent- 

 wickelung der Determinante von uf + vf -+• wf nach steigenden 

 Potenzen von w erst mit w" an, und die Coefficienten von w r , für 

 r < fx, sind sämmtlich gleich Null. Für den Fall ,u = o fehlen 

 die Invarianten der ersten Art, nämlich die Zahlen m, aber die 

 Gesammtzahl der Invarianten beider Arten 



mW, P s (r = 0, l,... H -i ; s = J j., l x+l,...n-,l) 



ist stets gleich «, d. h. gleich der Anzahl der Variabeinpaare der 

 bilinearen Formen / und /'. 



Bedeutet D s irgend eine der Determinanten (n — s) ter Ordnung, 

 welche aus den n 2 Coefficienten der bilinearen Form uf -f- vf ge- 

 bildet werden können, so zeigt die Entwickelung von D s nach den 

 Elementen einer Horizontal- oder Verticalreihe, dass der grösste 



