﻿Nachtrag. 435 



gemeinsame Theiler der Determinanten D s+1 darin als Factor ent- 

 halten sein muss, dass also die durch die Gleichungen 



P s = Q s P*+i (s = H ,M-l,...rc-l) 



definirten Functionen Q ganze homogene symmetrische Functionen 

 von u und v sind. Ferner ergiebt sich aus der bekannten, für ein 

 beliebiges Elementensystem a if giltigen Determinantenformel 



j ft ■ a 8 M = 9|g„| 3|a«| 9|a it | 3|q it | 



1 l ' 8 an 3 a 22 3 a n 3 a 22 3 a i2 3 a 2X 



dass Z> s , multiplicirt mit einer Determinante D s+2 , durch das Qua- 

 drat von P s+1 theilbar ist. Denkt man sich nun die Form / un- 

 ter den Formen derselben Classe so ausgewählt, dass keine der 

 mit D s bezeichneten Determinanten, dividirt durch P s , irgend einen 

 Theiler mil P^ gemein hat 1 ), so folgt, dass 



PsPs+2 „j_„ j 1U „ .„^ Qs 



A+l A+l 



, oder, was dasselbe ist, — 



eine ganze Function von u und v sein muss. Es sind daher 



genau ebenso wie die mit P bezeichneten Functionen, aus denen 

 sie hergeleitet wurden, n — \x ganze homogene symmetrische Func- 

 tionen von u und v, deren jede durch die folgende theilbar ist, 

 und welche die Functionen P auch als Invarianten des Systems 

 (/, /') zu ersetzen durchaus geeignet sind. 



Jede der Functionen Q s kann durch ihre Linearfactoren cha- 

 rakterisirt werden; man braucht also zur völligen Bestimmung der 

 Invarianten Q erstens die unter einander verschiedenen Werthver- 

 hältnisse von u : v, welche überhaupt vorkommen — und diese 

 kommen sämmtlich schon bei der ersten Function Q ß vor — so- 

 wie zweitens die Zahlen n\?\ welche angeben, wie viel mal der 

 Linearfactor uv^ — vu^ in Q n - h enthalten ist. Setzt man noch 



*) Bei Anwendung einer allgemeinen, für beide Reihen von Variabein 

 congruenten Transformation mit unbestimmten Substitutionscoefficienten ge- 

 langt man von irgend einer gegebenen bilinearen Form zu einer äquivalen- 

 ten, welche die geforderten Eigenschaften besitzt, und hieraus folgt die Mög- 

 lichkeit der oben vorausgesetzten Auswahl. 



