﻿442 Nachtrag. 



q> = Xä ik Xiy k , %J/ = 2b ik x i y k 



i, k i, k 



und (*,*.=* 1,-2, '••»*) 



«;ä — «** = ° > &^ 4- & H = . 



Da nun die Zahlen n^ +) , w^ _) angeben, um wie viel öfter der Fac- 

 tor £> und resp. der Factor q in allen Unterdeterminanten Ater 



Ordnung von 



pa ik -h qb ik 



enthalten ist, als in denen der nächst niedrigeren Ordnung, so 

 folgt aus jener Eigenschaft der Zahlen ti c + ) und n ( ~ ) , dass beim 

 stufenweisen Aufsteigen von Unterdeterminanten niedrigerer Ord- 

 nung zu denen höherer der Exponent der darin enthaltenen Potenz 

 von p stets zweimal hinter einander um eine und dieselbe Zahl 

 wächst, sobald sie grade ist, der Exponent von q dagegen, wenn 

 es eine ungrade Zahl ist. Diess lässt sich bei geeigneter simulta- 

 ner Transformation von q> und 4/ auch direct begründen, und zwar 

 muss die Transformation eine congruente und zugleich so beschaf- 

 fen sein, dass entweder 



cp = x [y[ -h #22/2 -H - oder <]/ — ifxVi — %{) H- (a?,yl — x[y' z ) + - 

 wird. 



V. Zu jeder bilinearen Form / gehört eine Schaar mit con- 

 jugirten Grundformen uf-\-vf, und die elementaren Schaaren, in 

 welche sich dieselbe zerlegen lässt, hängen auf das Genaueste mit 

 den elementaren Formen zusammen, als deren Aggregat die bili- 

 neare Form / selbst dargestellt werden kann. Es sind nämlich 

 die Schaaren, welche zu den im § 2 Art. VII aufgestellten und 

 oben pag. 46 wiederaufgeführten elementaren Formen @° gehören, 

 an sich elementare Schaaren, während diejenigen, welche den er- 

 sten mit ©° , @ 5 @ bezeichneten Arten von elementaren Formen 

 entsprechen, in je zwei elementare Schaaren zu zerlegen sind. 

 Denn wenn man die Form @° mit u, die conjugirte mit v multipli- 

 cirt und beide zu einander addirt, so erhält man die Summe der 

 beiden Ausdrücke 



U 2 #2A Vn+i ■+■ « 2 y 2h +i x 2h+2 . 



h h /O^A<m, und für jeden Index k\ 



,/V r ' ti' _4_«V„' T ' * x k — x 2m~k » Vk = Vlrn-k ' 



U — x Zh VVi+l -r ^ — 2/2Ä+1 #2A+2 

 h A 



welche mit einander conjugirte Schaaren repräsentiren. Ebenso ist 



