﻿Nachtrag. 445 



Grössensysteme a ik , a ik selber begründen. Für diesen wichtigen 

 Übergang von der Äquivalenz zur Identität d. h, für die vollstän- 

 dige Erkenntniss des Bleibenden in der Mannigfaltigkeit des Gleich- 

 artigen reichte der Begriff der literalen Invarianten nicht aus, son- 

 dern es bedurfte noch gewisser functionaler Bildungen, die sich 

 auf den Begriff des grössten gemeinsamen Theilers stützen. Aber 

 diess ist keineswegs, wie es den Anschein haben könnte, eine be- 

 sondere Eigenthümlichkeit der hier behandelten speeiellen Frage, 

 sondern es zeigt sich darin grade der ganz allgemeine, jedoch bis 

 her kaum beachtete Charakter von Invarianten bei algebraischen 

 Äquivalenzbedingungen. Dieser Charakter tritt nur bei der Theo- 

 rie der bilinearen Formen in ein besonders helles Licht, und eben 

 weil hiermit das Interesse derselben weit über ihren speeiellen 

 Gegenstand hinausreicht, bin ich in der vorliegenden Arbeit so 

 ausführlich darauf eingegangen. Ist die Einsicht in die allgemeine 

 Natur der Invarianten an dem Paradigma der bilinearen Formen 

 einmal gewonnen, so findet man sie schon bei den allereinfachsten 

 Problemen leicht wieder und erkennt dabei die Lücken der bishe- 

 rigen Behandlung derselben. Lässt man z. B. zwei bilineare For- 

 men als äquivalent gelten, wenn sie durch irgend welche (auch 

 nicht congruente) Substitutionen in einander transformirt werden 

 können, deren Determinanten von Null verschieden sind, so ist 

 der grösste gemeinsame Theiler von v n und 



\va ik -hz ik \ (i,k=l,2,...n) 



oder auch der Grad, welchen diese Determinante als ganze Func- 

 tion von v hat, die einzige Invariante, da dieser Grad zugleich die 

 höchste Ordnung derjenigen aus den Coefficienten der bilinearen 

 Form 



Xa ik x { y k (i,k = l,2,...n) 



i, k 



zu bildenden Unterdeterminanten angiebt, welche nicht sämmtlich 

 verschwinden. Wenn ferner die Invarianten eines Systems von n 

 linearen Functionen von je n Variabein 



k = n 



^a ik x k (i=l,2,...n) 



im gewöhnlichen Sinne des Wortes aufgefasst und demgemäss als 

 Functionen der Coefficienten a ik definirt werden, welche bei jeder 

 linearen Transformation mit der Substitutionsdeterminante Eins 



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