﻿142 
  UGO 
  AMALDI 
  2 
  

  

  Io, 
  valendomi, 
  fin 
  dove 
  ho 
  potuto, 
  di 
  considerazioni 
  geometriche 
  e 
  sintetiche, 
  

   ho 
  cercato 
  di 
  allontanare 
  quanto 
  più 
  mi 
  è 
  stato 
  possibile 
  il 
  momento, 
  in 
  cui, 
  per 
  

   la 
  natura 
  stessa 
  del 
  problema, 
  fu 
  pur 
  necessario 
  di 
  ricorrere 
  ai 
  procedimenti 
  pretta- 
  

   mente 
  formali 
  ed 
  analitici. 
  

  

  La 
  teoria 
  generale 
  dei 
  gruppi 
  continui 
  infiniti, 
  sventuratamente, 
  non 
  ha 
  ricevuto 
  

   dal 
  suo 
  grande 
  Autore 
  se 
  non 
  un 
  primo 
  abbozzo: 
  e 
  ancora 
  oggi, 
  pur 
  dopo 
  i 
  risultati 
  

   fondamentali 
  dell' 
  Engel 
  e 
  del 
  Medolaghi 
  e 
  i 
  più 
  recenti 
  lavori 
  del 
  Vessiot 
  e 
  del 
  

   Cabtah, 
  è 
  ben 
  lontana 
  da 
  un 
  soddisfacente 
  assetto 
  organico. 
  

  

  A 
  codesta 
  scarsa 
  teoria 
  generale 
  io, 
  col 
  presente 
  lavoro, 
  ho 
  mirato 
  a 
  recare 
  

   qualche 
  contributo, 
  non 
  privo 
  d'interesse, 
  di 
  esempi 
  concreti 
  e 
  di 
  illustrazioni 
  

   determinate. 
  

  

  Ma 
  sopra 
  tutto 
  io 
  mi 
  sono 
  indotto 
  a 
  queste 
  ricerche 
  con 
  l'intendimento 
  di 
  contri- 
  

   buire 
  allo 
  sviluppo 
  di 
  quella 
  teoria 
  di 
  integrazione 
  delle 
  equazioni 
  a 
  derivate 
  parziali 
  

   di 
  ordine 
  superiore 
  al 
  primo, 
  di 
  cui 
  il 
  Lie 
  ha 
  dato 
  un 
  saggio 
  nella 
  Memoria: 
  Zur 
  

   allgemeinen 
  Theorie 
  der 
  partiellen 
  DifferenHalgleichvngen 
  beliebiger 
  Ordung 
  C). 
  

  

  In 
  sostanza, 
  ogni 
  equazione 
  alle 
  derivate 
  parziali, 
  che 
  ammette 
  un 
  gruppo 
  infinito 
  

   di 
  trasformazioni, 
  è 
  integrabile 
  col 
  metodo 
  che 
  potrem 
  dire 
  di 
  Dakboux 
  e 
  Lie 
  ( 
  2 
  ): 
  

   cosicché 
  da 
  una 
  classificazione 
  dei 
  gruppi 
  continui 
  infiniti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  

   dello 
  spazio 
  deriverà 
  una 
  classificazione 
  razionale 
  di 
  una 
  classe 
  importantissima 
  di 
  

   equazioni 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  (in 
  due 
  variabili) 
  integrabili 
  coi 
  metodi 
  noti 
  sin 
  qui. 
  

  

  Qualcuno 
  forse, 
  pensando 
  al 
  grande 
  numero 
  dei 
  tipi 
  di 
  gruppi 
  infiniti 
  di 
  trasforma- 
  

   zioni 
  di 
  contatto, 
  dubiterà 
  della 
  utilità 
  e, 
  quasi, 
  della 
  possibilità 
  effettiva 
  di 
  una 
  tale 
  

   classificazione 
  delle 
  equazioni 
  a 
  derivate 
  parziali 
  integrabili 
  col 
  metodo 
  di 
  Darboix 
  

   e 
  Lie. 
  Ma 
  non 
  è 
  difficile 
  fissare 
  a 
  priori 
  dei 
  criteri 
  di 
  eliminazione, 
  che 
  permettano 
  

   senz'altro 
  di 
  escludere 
  quei 
  tipi 
  di 
  gruppi 
  che 
  in 
  ordine 
  alla 
  integrazione 
  delle 
  equa- 
  

   zioni 
  a 
  derivate 
  parziali, 
  riuscirebbero, 
  in 
  qualche 
  senso, 
  superflui. 
  Si 
  ha 
  di 
  ciò 
  un 
  

   esempio 
  in 
  una 
  bella 
  memoria 
  del 
  Big. 
  Medolaghi 
  ( 
  8 
  ), 
  nella 
  quale 
  l'autore 
  ha 
  recato 
  

   un 
  primo 
  notevole 
  contributo 
  all'accennata 
  teoria 
  d'integrazione 
  del 
  Lie, 
  determinando 
  

   i 
  tipi 
  essenziali 
  di 
  equazioni 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  del 
  2° 
  ordine 
  in 
  due 
  variabili 
  

   indipendenti, 
  che 
  ammettono 
  un 
  gruppo 
  infinito 
  di 
  trasformazioni 
  puntuali. 
  

  

  (') 
  " 
  Leir>z. 
  Berichte 
  ,, 
  Bd. 
  47. 
  189 
  -128. 
  Cfr. 
  anche 
  Bbddo», 
  " 
  Oomptes 
  Bendila 
  ,. 
  1x94-95. 
  

  

  C) 
  1 
  t, 
  Le(<ma 
  mr 
  l'integration 
  dea 
  iquations 
  aux 
  dérivie* 
  

  

  partielles 
  <ìu 
  seeond 
  ordre, 
  t. 
  II. 
  pag. 
  190. 
  

  

  (') 
  Classificazione 
  delle 
  equazióni 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  del 
  secondo 
  ordine, 
  che 
  (immettono 
  un 
  gruppo 
  

   infinito 
  di 
  trasformazioni 
  puntuali. 
  ' 
  Annali 
  di 
  Hat, 
  .. 
  t. 
  1 
  della 
  S. 
  ED 
  !9 
  e 
  segg. 
  

  

  