﻿GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  143 
  

  

  I. 
  Il 
  sistema 
  modulare 
  caratteristico 
  

   di 
  un 
  gruppo 
  continuo 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto. 
  

  

  1. 
  — 
  Il 
  Lie 
  notoriamente 
  chiama 
  gruppo 
  continuo 
  infinito 
  ogni 
  schiera 
  di 
  tras- 
  

   formazioni 
  : 
  

  

  a;/ 
  = 
  Fi 
  (x 
  x 
  , 
  x 
  2 
  , 
  ... 
  , 
  x„) 
  (i 
  = 
  1, 
  2, 
  ... 
  , 
  n) 
  

  

  tali 
  che: 
  a) 
  sia 
  soddisfatta 
  la 
  proprietà 
  gruppale; 
  b) 
  le 
  funzioni 
  F< 
  siano 
  le 
  più 
  

   generali 
  soluzioni 
  di 
  un 
  sistema 
  di 
  equazioni 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  (equazioni 
  di 
  

   definizione 
  delle 
  trasformazioni 
  finite) 
  ; 
  e) 
  le 
  Fi 
  dipendano 
  non 
  soltanto 
  da 
  un 
  numero 
  

   finito 
  di 
  costanti 
  arbitrarie 
  ( 
  : 
  ). 
  

  

  Una 
  schiera 
  siffatta 
  di 
  trasformazioni, 
  se 
  comprende 
  la 
  trasformazione 
  identica, 
  

   contiene 
  anche 
  infinite 
  trasformazioni 
  infinitesime: 
  

  

  x- 
  =x 
  i 
  -\- 
  li{x 
  u 
  x 
  2 
  , 
  ... 
  , 
  x 
  n 
  )H, 
  (i 
  =5 
  1, 
  2, 
  ... 
  n) 
  

  

  tali 
  che 
  combinando 
  per 
  integrazione, 
  in 
  qualsiasi 
  modo, 
  infinite 
  di 
  esse 
  si 
  ottiene 
  

   sempre 
  una 
  trasformazione 
  finita 
  del 
  gruppo 
  primitivo. 
  E 
  questo 
  insieme 
  di 
  trasforma- 
  

   zioni 
  infinitesime 
  gode 
  delle 
  seguenti 
  proprietà 
  : 
  a) 
  le 
  E, 
  sono 
  le 
  più 
  generali 
  soluzioni 
  

   di 
  un 
  sistema 
  di 
  equazioni 
  lineari 
  omogenee 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  (equazioni 
  di 
  defini- 
  

   zione 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime) 
  ; 
  P) 
  le 
  E, 
  dipendono 
  non 
  soltanto 
  da 
  un 
  numero 
  

   finito 
  di 
  costanti 
  arbitrarie; 
  t) 
  insieme 
  con 
  ogni 
  possibile 
  coppia 
  di 
  trasformazioni 
  

   infinitesime 
  

  

  xi 
  = 
  Xj 
  -f- 
  li 
  òt 
  , 
  ,r,' 
  = 
  Xi 
  -j- 
  r\i 
  bt 
  

  

  appartiene 
  all'insieme 
  la 
  trasformazione 
  infinitesima 
  

  

  i 
  

  

  Usando 
  la 
  classica 
  notazione 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  mediante 
  operatori 
  

   differenziali 
  lineari 
  del 
  primo 
  ordine, 
  quest'ultima 
  condizione 
  dà 
  che 
  con 
  ogni 
  coppia 
  

   di 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  : 
  

  

  *=!>*• 
  r-l^ 
  

  

  appartiene 
  all'insieme 
  l'alternata 
  : 
  

  

  [XY) 
  — 
  XY— 
  YX. 
  

  

  (') 
  Lie, 
  Die 
  Grundlagen 
  fìir 
  die 
  Theorie 
  der 
  unendlichen 
  continuirlichen 
  Transformationsgruppen, 
  

   I, 
  § 
  1 
  (" 
  Leipziger 
  Berichte 
  „, 
  1891, 
  pag. 
  317). 
  

  

  