﻿144 
  UG0 
  AMALDI 
  4 
  

  

  Ora 
  il 
  Lib 
  ha 
  dimostrato 
  (*) 
  (ed 
  è 
  questo 
  sostanzialmente 
  il 
  suo 
  secondo 
  teorema 
  

   fondamentale 
  della 
  teoria 
  dei 
  gruppi 
  infiniti) 
  che 
  ogni 
  insieme 
  di 
  trasformazioni 
  infini- 
  

   tesime, 
  il 
  quale 
  goda 
  delle 
  proprietà 
  a), 
  B), 
  f), 
  è 
  l'insieme 
  delle 
  trasformazioni 
  

   infinitesime 
  di 
  un 
  ben 
  determinato 
  gruppo 
  continuo 
  infinito 
  di 
  trasformazioni. 
  Perciò 
  

   il 
  Lie 
  designava 
  un 
  sistema 
  siffatto 
  col 
  nome 
  di 
  gruppo 
  infinito 
  di 
  trasformazioni 
  

   infinitesime 
  ( 
  2 
  ). 
  

  

  2. 
  — 
  Applichiamo 
  le 
  precedenti 
  considerazioni 
  al 
  caso 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  

   contatto 
  dello 
  spazio 
  ordinario. 
  

  

  In 
  questo 
  interpreteremo 
  x, 
  y, 
  z 
  come' 
  coordinate 
  cartesiane 
  di 
  punto 
  e, 
  riguar- 
  

   dando 
  z 
  come 
  dipendente 
  da 
  x 
  e 
  y, 
  ^assumeremo 
  : 
  

  

  òz 
  àz 
  

  

  come 
  coordinate 
  di 
  un 
  piano 
  della 
  stella 
  di 
  centro 
  ,r, 
  y, 
  z. 
  

  

  Così 
  le 
  x, 
  y, 
  z, 
  peq 
  si 
  potranno 
  assumere 
  a 
  coordinate 
  di 
  un 
  elemento 
  di 
  superficie, 
  

   e 
  le 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  saranno 
  caratterizzate 
  come 
  le 
  trasformazioni 
  degli 
  oo 
  6 
  

   elementi 
  dello 
  spazio: 
  

  

  x' 
  = 
  X{x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q) 
  

   y' 
  = 
  Y{x, 
  //, 
  z, 
  p, 
  q) 
  

  

  (1) 
  z' 
  = 
  Z{x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q) 
  

  

  p' 
  = 
  P(x, 
  y, 
  z, 
  p. 
  q) 
  

  

  <1 
  = 
  (?('\ 
  //. 
  2. 
  p, 
  q) 
  

   che 
  trasformano 
  in 
  se 
  stessa 
  l'equazione 
  pfaffiana: 
  

  

  dz 
  — 
  pdx 
  — 
  qdy 
  = 
  ( 
  i, 
  

   cioè 
  soddisfanno 
  ad 
  un'equazione 
  : 
  

  

  (2) 
  dz' 
  — 
  pdx 
  — 
  qdy 
  — 
  p 
  (dz 
  — 
  pdx 
  — 
  qdy) 
  

  

  dove 
  p 
  (moltiplicatore 
  della 
  trasformazione 
  di 
  contatto) 
  è 
  una 
  funzione 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q 
  

   sottoposta 
  all'unica 
  condizione 
  di 
  non 
  essere 
  identicamente 
  nulla. 
  

  

  Noi 
  ammetteremo 
  costantemente 
  che 
  le 
  X, 
  Y, 
  Z, 
  P, 
  Q 
  siano 
  funzioni 
  analitiche 
  

   dei 
  cinque 
  loro 
  argomenti. 
  

  

  Se 
  facciamo 
  che 
  codeste 
  cinque 
  funzioni 
  assumano, 
  le 
  une 
  indipendentemente 
  

   dalle 
  altre, 
  ogni 
  possibile 
  determinazione, 
  otteniamo 
  il 
  gruppo 
  di 
  tutte 
  le 
  trasforma- 
  

   zioni 
  di 
  contatto 
  (analitiche) 
  dello 
  spazio, 
  il 
  quale 
  è 
  manifestamente 
  un 
  gruppo 
  continuo 
  

   infinito 
  nel 
  senso 
  del 
  Lie. 
  

  

  (') 
  Lie, 
  Die 
  Grundlagen 
  u. 
  s. 
  te., 
  II, 
  pag. 
  391. 
  

   (') 
  Ibidem. 
  

  

  