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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  145 
  

  

  Ciò 
  si 
  vede, 
  forse, 
  nel 
  modo 
  più 
  immediato, 
  interpretando 
  le 
  (1) 
  come 
  trasforma- 
  

   zioni 
  puntuali 
  nello 
  spazio 
  a 
  cinque 
  dimensioni 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q: 
  le 
  equazioni 
  di 
  definizione 
  

   del 
  gruppo 
  sono 
  riassunte 
  nell'equazione 
  (2), 
  la 
  quale, 
  rispetto 
  alle 
  trasformazioni 
  

   infinitesime, 
  dice, 
  come 
  è 
  ben 
  noto, 
  che 
  gli 
  incrementi 
  che 
  una 
  qualsiasi 
  trasforma- 
  

   zione 
  infinitesima 
  di 
  contatto 
  imprime 
  alle 
  cinque 
  coordinate 
  di 
  un 
  elemento 
  generico, 
  

   sono 
  esprimibili 
  linearmente 
  per 
  mezzo 
  di 
  un'unica 
  funzione 
  completamente 
  arbitraria 
  

   delle 
  cinque 
  coordinate 
  (funzione 
  caratteristica 
  della 
  trasformazione 
  infinitesima 
  di 
  

   contatto) 
  e 
  delle 
  sue 
  derivate 
  del 
  primo 
  ordine. 
  Si 
  ha 
  precisamente, 
  se 
  W 
  è 
  la 
  fun- 
  

   zione 
  caratteristica 
  : 
  

  

  bw 
  . 
  òw 
  . 
  òW 
  , 
  òW 
  

  

  . 
  bW 
  òw 
  . 
  air 
  bW 
  

  

  *p=—-£r— 
  .p-ì*-. 
  bf 
  i 
  = 
  — 
  bT~ 
  q 
  ~te- 
  

  

  Appare 
  di 
  qui 
  manifesta 
  la 
  convenienza 
  di 
  sostituire 
  alla 
  considerazione 
  delle 
  

   equazioni 
  di 
  definizione 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  quella 
  delle 
  equazioni 
  di 
  

   definizione 
  delle 
  rispettive 
  funzioni 
  caratteristiche. 
  

  

  Ora 
  una 
  qualsiasi 
  combinazione 
  lineare 
  (a 
  coefficienti 
  costanti) 
  di 
  due 
  trasfor- 
  

   mazioni 
  infinitesime 
  a 
  x 
  X 
  t 
  -j- 
  a 
  2 
  X 
  2 
  ha 
  per 
  funzione 
  caratteristica 
  la 
  medesima 
  com- 
  

   binazione 
  lineare 
  delle 
  rispettive 
  funzioni 
  caratteristiche 
  a 
  1 
  W 
  1 
  ^ 
  r 
  a 
  2 
  W 
  2 
  ; 
  e 
  all'alternata 
  

   (X 
  1 
  .X 
  2 
  ) 
  corrisponde 
  come 
  funzione 
  caratteristica 
  la 
  : 
  

  

  \W 
  W 
  i. 
  — 
  ÒWìòW 
  * 
  àWjdWs 
  , 
  aTF,ÒTF 
  2 
  ÒWtòW 
  3 
  , 
  

   ' 
  U 
  rr 
  *\— 
  bp 
  bx 
  bx 
  bp 
  "•" 
  02 
  òy 
  òy 
  àq 
  ^ 
  

  

  , 
  IbW.bW, 
  bW 
  t 
  bW,\ 
  ,„(dW 
  ì 
  bW, 
  ÒWidW,\ 
  w 
  bw 
  2 
  . 
  w 
  

  

  + 
  p 
  \bp 
  b* 
  ~ 
  bz 
  bpì^^Vòfte 
  STlTi 
  - 
  '"5T" 
  1 
  " 
  " 
  

  

  Perciò 
  le 
  funzioni 
  caratteristiche 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  di 
  contatto 
  

   di 
  un 
  gruppo 
  infinito 
  G 
  costituiscono 
  un 
  sistema 
  modulare 
  o 
  modulo 
  (o, 
  secondo 
  il 
  

   Pincherle, 
  spazio 
  lineare) 
  di 
  funzioni 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q, 
  caratterizzato 
  dalle 
  seguenti 
  pro- 
  

   prietà: 
  A) 
  il 
  suo 
  elemento 
  generico 
  è 
  la 
  più 
  generale 
  soluzione 
  di 
  un 
  sistema 
  di 
  

   equazioni 
  lineari 
  ed 
  omogenee 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  ; 
  B) 
  questa 
  soluzione 
  generale 
  

   dipende 
  non 
  soltanto 
  da 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  costanti 
  arbitrarie 
  ; 
  C) 
  il 
  sistema 
  modu- 
  

   lare 
  è 
  chiuso 
  rispetto 
  all'operazione 
  di 
  parentesi 
  ) 
  j 
  ; 
  cioè 
  se 
  W 
  u 
  W 
  2 
  sono 
  due 
  suoi 
  

   elementi, 
  appartiene 
  ad 
  esso 
  anche 
  la 
  funzione 
  )W 
  1 
  ,W 
  2 
  \. 
  

  

  Viceversa, 
  dal 
  secondo 
  teorema 
  fondamentale 
  del 
  Lie 
  risulta 
  che 
  ogni 
  sistema 
  

   di 
  funzioni 
  soddisfacente 
  alle 
  condizioni 
  A), 
  E), 
  C) 
  definisce 
  un 
  ben 
  determinato 
  gruppo 
  

   continuo 
  infinito 
  G 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto. 
  Codesto 
  sistema 
  di 
  funzioni 
  si 
  dirà 
  

   per 
  brevità 
  modulo 
  caratteristico 
  del 
  gruppo 
  G. 
  

  

  Notiamo 
  in 
  primo 
  luogo 
  che 
  un 
  modulo 
  di 
  funzioni 
  soddisfacente 
  alle 
  condizioni 
  

   A) 
  e 
  (J), 
  ma 
  non 
  alla 
  B), 
  cioè 
  un 
  modulo 
  finito 
  (dipendente 
  da 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  

   costanti 
  arbitrarie) 
  dà 
  luogo 
  ad 
  un 
  gruppo 
  continuo, 
  ma 
  finito. 
  Ed 
  in 
  secondo 
  luogo 
  

   ricordiamo 
  che 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  W 
  di 
  un 
  gruppo 
  G 
  è, 
  rispetto 
  alle 
  trasfor- 
  

   mazioni 
  di 
  contatto, 
  covariante 
  al 
  gruppo; 
  in 
  quanto 
  il 
  gruppo 
  trasformato 
  CG-C" 
  1 
  

  

  Serie 
  II. 
  Tom. 
  LVII. 
  s 
  

  

  