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  UGO 
  AMAT.DI 
  • 
  6 
  

  

  mediante 
  una 
  trasformazione 
  di 
  contatto 
  C, 
  ammette 
  come 
  modulo 
  caratteristico 
  il 
  

   modulo 
  p9Jt, 
  dove 
  p 
  sia 
  il 
  moltiplicatore 
  della 
  trasformazione 
  di 
  contatto 
  C 
  e, 
  natural- 
  

   mente, 
  nelle 
  funzioni 
  di 
  p9JÌ 
  si 
  sostituiscano 
  alle 
  antiche 
  variabili 
  le 
  loro 
  espressioni 
  

   per 
  mezzo 
  delle 
  nuove. 
  Ciò 
  vale 
  in 
  particolare 
  per 
  un 
  gruppo 
  ad 
  un 
  sol 
  parametro, 
  

   cioè 
  generato 
  da 
  un'unica 
  trasformazione 
  infinitesima. 
  

  

  II. 
  Enunciato 
  del 
  problema 
  e 
  generalità. 
  

  

  3. 
  — 
  Risulta 
  da 
  quanto 
  precede 
  che 
  il 
  problema 
  della 
  determinazione 
  dei 
  tipi 
  

   di 
  gruppi 
  continui 
  infiniti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio 
  equivale 
  a 
  quello 
  

   di 
  determinare 
  i 
  tipi, 
  rispetto, 
  ben 
  inteso, 
  al 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  

   contatto, 
  dei 
  moduli 
  di 
  funzioni 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q, 
  che 
  soddisfanno 
  alle 
  condizioni 
  A), 
  B), 
  C). 
  

  

  Ma 
  questa 
  riduzione 
  del 
  problema 
  è 
  puramente 
  formale, 
  e 
  non 
  si 
  riuscirebbe 
  

   a 
  procedere 
  oltre 
  di 
  un 
  passo 
  se 
  non 
  si 
  spezzasse 
  il 
  problema 
  in 
  una 
  serie 
  di 
  que- 
  

   stioni 
  minori, 
  abbordabili 
  ciascuna 
  da 
  un 
  particolare 
  punto 
  di 
  vista. 
  

  

  Interpretiamo 
  al 
  solito 
  le 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  5 
  3 
  come 
  trasforma- 
  

   zioni 
  puntuali 
  dello 
  N-, 
  r. 
  v. 
  z. 
  p, 
  a. 
  

  

  Il 
  sig. 
  Kowalewski 
  (') 
  ha 
  notato 
  come 
  ogni 
  gruppo 
  infinito, 
  il 
  quale 
  trasformi 
  

   in 
  se 
  un'equazione 
  pfaffiana 
  e 
  operi 
  in 
  S 
  h 
  primitivamente, 
  è 
  simile 
  al 
  gruppo 
  totale 
  

   delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  di 
  S 
  s 
  . 
  Restano 
  quindi 
  da 
  considerare 
  i 
  gruppi 
  infiniti 
  

   che 
  nello 
  <S 
  5 
  degli 
  elementi 
  di 
  superficie 
  operano 
  imprimitivamente. 
  

  

  La 
  prima 
  classe 
  che 
  si 
  presenta 
  di 
  gruppi 
  siffatti 
  è 
  quella 
  dei 
  gruppi, 
  pei 
  quali 
  

   la 
  divisione 
  di 
  S 
  & 
  in 
  varietà 
  di 
  imprimitività 
  è 
  data 
  da 
  oo 
  1 
  T'., 
  : 
  

  

  O 
  {z. 
  x, 
  y,p, 
  r/) 
  = 
  COSt., 
  

  

  ossia, 
  tornando 
  in 
  S 
  3 
  , 
  dei 
  gruppi 
  continui 
  infiniti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  di 
  S 
  3 
  , 
  

   che 
  trasformano 
  in 
  sé 
  una 
  schiera 
  di 
  x 
  1 
  equazioni 
  alle 
  derivate 
  parziali 
  del 
  primo 
  

   ordine: 
  

  

  ^t 
  2 
  ' 
  ■''•"• 
  sf* 
  lr) 
  = 
  cost 
  

  

  Sono 
  questi 
  i 
  gruppi, 
  di 
  cui 
  saranno 
  determinati 
  i 
  tipi 
  nel 
  presente 
  lavoro. 
  

   Alla 
  determinazione 
  degli 
  altri 
  gruppi, 
  che 
  ammettono 
  ciascuno 
  una 
  schiera 
  

   invariante 
  di 
  equazioni 
  : 
  

  

  4>, 
  (*, 
  or, 
  y, 
  p, 
  q) 
  = 
  cost. 
  (t 
  =1, 
  2, 
  3, 
  ... 
  r) 
  , 
  

  

  dove 
  r 
  è 
  uguale 
  o 
  a 
  2, 
  o 
  a 
  3, 
  o 
  a 
  4, 
  o 
  a 
  5, 
  spero 
  di 
  potere 
  in 
  altra 
  occasione 
  recare 
  

   qualche 
  notevole 
  contributo. 
  Intanto 
  fin 
  d'ora 
  noterò 
  come 
  parecchie 
  delle 
  considera- 
  

  

  ci 
  Die 
  primitiva* 
  Transformationsgruppeìi 
  in 
  fiinf 
  Yeranderlichen 
  (" 
  Leipziger 
  Berichte 
  ,, 
  1899, 
  

   pag. 
  69). 
  

  

  