﻿7 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  147 
  

  

  rioni, 
  svolte 
  pei 
  casi 
  analoghi 
  dei 
  gruppi 
  finiti 
  dal 
  sig. 
  Oseen 
  ( 
  1 
  ), 
  si 
  trasportano 
  

   utilmente 
  ai 
  gruppi 
  infiniti. 
  Così 
  in 
  particolare 
  si 
  dimostra 
  con 
  pochi 
  tratti 
  di 
  penna 
  

   che 
  ogni 
  gruppo 
  corrispondente 
  al 
  caso 
  r 
  = 
  3 
  equivale 
  a 
  qualcuno 
  dei 
  tipi, 
  che 
  noi 
  

   qui 
  determineremo. 
  

  

  4. 
  — 
  Limitando 
  oramai 
  le 
  nostre 
  considerazioni 
  ai 
  gruppi 
  che 
  ammettono 
  una 
  

   schiera 
  invariante 
  di 
  oo 
  1 
  F 
  4 
  , 
  possiamo 
  anzitutto 
  immaginare 
  ridotta 
  la 
  (1), 
  mediante 
  

   una 
  trasformazione 
  di 
  contatto, 
  alla 
  forma 
  : 
  

  

  y 
  = 
  cost 
  ; 
  

  

  in 
  altre 
  parole 
  considereremo 
  i 
  gruppi 
  che 
  in 
  S 
  3 
  trasformano 
  le 
  une 
  nelle 
  altre 
  

   le 
  oo 
  1 
  varietà 
  di 
  oo 
  4 
  elementi 
  di 
  superficie, 
  i 
  cui 
  punti-sostegno 
  appartengono 
  ai 
  piani 
  

   paralleli 
  al 
  piano 
  xz. 
  

  

  Un 
  gruppo 
  G 
  siffatto 
  indurrà 
  su 
  codeste 
  co 
  1 
  varietà 
  di 
  co 
  4 
  elementi 
  un 
  gruppo 
  g, 
  

   il 
  quale, 
  come 
  risulta 
  dalla 
  notoria 
  classificazione 
  dei 
  gruppi 
  continui 
  in 
  una 
  sola 
  

   variabile, 
  presenterà 
  necessariamente 
  uno 
  dei 
  seguenti 
  casi 
  : 
  

   I 
  : 
  si 
  ridurrà 
  alla 
  sola 
  identità 
  ; 
  

  

  Ili 
  ; 
  II 
  2 
  ; 
  II 
  3 
  : 
  sarà 
  finito 
  e, 
  rispettivamente, 
  ad 
  uno, 
  due 
  tre 
  parametri 
  ; 
  

   II 
  4 
  : 
  sarà 
  infinito, 
  cioè 
  coinciderà 
  col 
  gruppo 
  totale 
  in 
  una 
  sola 
  variabile. 
  

  

  In 
  base 
  a 
  ciò 
  noi 
  divideremo 
  i 
  nostri 
  gruppi 
  in 
  due 
  categorie, 
  assegnando 
  alla 
  

   prima 
  quelli 
  che 
  lascian 
  ferma 
  ogni 
  singola 
  varietà 
  y 
  = 
  cost.; 
  e 
  suddivideremo 
  gli 
  

   altri, 
  cioè 
  i 
  gruppi 
  della 
  seconda 
  categoria, 
  in 
  quattro 
  classi 
  a 
  seconda 
  che 
  essi 
  

   subordinano 
  nella 
  schiera 
  delle 
  oc 
  1 
  varietà 
  y 
  = 
  cost., 
  un 
  gruppo 
  oo 
  1 
  , 
  co 
  2 
  oo 
  3 
  il 
  gruppo 
  

   totale 
  in 
  una 
  variabile. 
  

  

  Un 
  qualsiasi 
  gruppo 
  infinito 
  G 
  della 
  II 
  categoria 
  ammette 
  certamente 
  un 
  sotto- 
  

   gruppo 
  invariante 
  G 
  , 
  che 
  lascia 
  ferma 
  ogni 
  singola 
  varietà 
  i/ 
  = 
  cost.,ed 
  appartiene 
  

   quindi 
  alla 
  categoria 
  I. 
  

  

  E 
  questo 
  gruppo 
  G 
  è 
  necessariamente 
  infinito, 
  se 
  il 
  gruppo 
  G 
  subordina 
  nella 
  

   schiera 
  delle 
  co 
  1 
  varietà 
  y 
  = 
  cost. 
  un 
  gruppo 
  finito, 
  cioè 
  se 
  G 
  appartiene 
  alla 
  l 
  a 
  , 
  

   2 
  a 
  3 
  a 
  classe; 
  mentre, 
  se 
  G 
  appartiene 
  alla 
  classe 
  4% 
  G 
  può 
  anche 
  essere 
  finito. 
  

  

  Noi 
  vediamo 
  di 
  qui 
  intanto 
  come 
  la 
  determinazione 
  dei 
  gruppi 
  della 
  II 
  categoria 
  

   si 
  possa 
  agevolmente 
  compiere 
  non 
  appena 
  siano 
  noti 
  i 
  gruppi 
  (infiniti 
  e 
  finiti) 
  della 
  I. 
  

  

  Il 
  procedimento 
  da 
  tenere 
  sarà 
  il 
  seguente. 
  Scelto 
  un 
  gruppo 
  infinito 
  G 
  della 
  

   I 
  categoria, 
  per 
  avere 
  i 
  corrispondenti 
  gruppi 
  della 
  II 
  categoria 
  e 
  appartenenti 
  alla 
  

   prima, 
  seconda, 
  terza 
  classe 
  dovremo 
  aggiungere 
  a 
  G 
  rispettivamente 
  una, 
  due 
  tre 
  

   trasformazioni 
  infinitesime 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  

  tt 
  v 
  5 
  àf 
  j_ 
  òf 
  . 
  df 
  1 
  df 
  . 
  df 
  

  

  Y 
  — 
  S 
  ò 
  f 
  L 
  „ 
  *f 
  J_ 
  _ 
  V 
  _|_ 
  « 
  V 
  _1_ 
  7 
  Òf 
  

  

  V 
  — 
  ? 
  Vj.jJfl. 
  tf 
  r 
  „ 
  V 
  I 
  7 
  d 
  f 
  

  

  Y 
  2 
  -l 
  2 
  ^+y 
  - 
  + 
  n 
  2 
  _+K 
  2 
  -+r 
  2 
  - 
  

  

  (*) 
  Ueber 
  einige 
  irreduciblen 
  Gruppen 
  von 
  Berìihritngstransformationen 
  im 
  Raume, 
  " 
  Ofversigt 
  of 
  

   K. 
  Vetenskaps-Ab. 
  Forhandlingar 
  1901 
  „. 
  — 
  Ueber 
  die 
  eudliehen, 
  continuierlicken, 
  irreduciblen 
  Berìihr- 
  

   ungstransformationsgruppen 
  im 
  Raume, 
  Disaertation, 
  Luncl., 
  1901. 
  

  

  