﻿148 
  UGO 
  AMALDI 
  8 
  

  

  determinando 
  le 
  funzioni 
  2,-, 
  tt 
  k<, 
  2; 
  in 
  modo 
  che 
  per 
  ogni 
  trasformazione 
  infinitesima 
  X 
  

   di 
  G 
  l'alternata 
  (YjX) 
  appartenga 
  a 
  G 
  , 
  e 
  di 
  più 
  le 
  tre 
  alternate: 
  

  

  (1^), 
  (Y 
  Y 
  2 
  ), 
  (Y.Y,) 
  

  

  siano, 
  a 
  meno 
  di 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  di 
  G 
  , 
  uguali 
  rispettivamente 
  ad: 
  

  

  Per 
  ottenere 
  poi 
  i 
  gruppi 
  della 
  quarta 
  classe, 
  dovremo 
  considerare 
  successiva- 
  

   mente 
  ogni 
  gruppo 
  G 
  , 
  sia 
  finito 
  sia 
  infinito, 
  che 
  trasformi 
  in 
  se 
  ogni 
  singola 
  varietà 
  

   y 
  = 
  cost. 
  , 
  e 
  aggiungere 
  ad 
  esso 
  una 
  trasformazione 
  infinitesima 
  : 
  

  

  ** 
  = 
  '& 
  + 
  '<*% 
  + 
  '%+*%■*£ 
  

  

  dove 
  la 
  qp 
  rappresenta 
  una 
  funzione 
  arbitraria 
  di 
  y 
  e 
  le 
  funzioni 
  £, 
  ir, 
  k, 
  l 
  di 
  z, 
  x, 
  y, 
  p, 
  q 
  

   vanno 
  determinate 
  in 
  modo, 
  che 
  per 
  ogni 
  trasformazione 
  infinitesima 
  X 
  di 
  G 
  la 
  (Yy 
  X) 
  

   appartenga 
  al 
  G 
  stesso 
  e 
  di 
  più 
  l'alternata 
  di 
  due 
  trasformazioni 
  Yq, 
  sia 
  ancora, 
  

   a 
  meno 
  di 
  una 
  trasformazione 
  di 
  G 
  , 
  una 
  trasformazione 
  Yq, 
  . 
  

  

  5. 
  — 
  Risulta 
  da 
  quanto 
  precede, 
  che 
  noi 
  dobbiamo 
  anzitutto 
  occuparci 
  dei 
  gruppi 
  

   della 
  I 
  categoria. 
  Le 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  di 
  un 
  gruppo 
  G 
  siffatto 
  dovranno 
  

   imprimere 
  alla 
  coordinata 
  y 
  un 
  incremento 
  nullo, 
  cosicché 
  saranno 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  ma 
  se 
  dalla 
  trasformazione 
  infinitesima 
  risaliamo 
  alla 
  sua 
  funzione 
  caratteristica 
  W 
  

  

  e 
  teniamo 
  conto 
  che 
  l'incremento 
  di 
  y 
  è 
  dato 
  da 
  -e—, 
  concludiamo 
  che 
  la 
  W 
  e, 
  quindi 
  

  

  anche, 
  le 
  S, 
  tt 
  e 
  l, 
  sono 
  indipendenti 
  da 
  q. 
  

  

  Possiamo 
  allora 
  notare 
  con 
  lo 
  Scheffers 
  (1. 
  e.) 
  che 
  le 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  

   accorciate 
  : 
  

  

  in 
  ogni 
  piano 
  generico 
  y 
  = 
  cost. 
  generano 
  un 
  gruppo 
  G 
  di 
  trasformazione 
  di 
  contatto. 
  

   Ciò 
  si 
  vede 
  sia 
  in 
  modo 
  geometrico 
  diretto, 
  sia 
  notando 
  che 
  codeste 
  trasformazioni 
  

   infinitesime 
  ammettono 
  l'equazione 
  invariante 
  : 
  

  

  dz 
  — 
  p 
  dx 
  = 
  0. 
  

  

  In 
  altre 
  parole 
  e 
  riferendoci 
  alle 
  funzioni 
  caratteristiche, 
  noi 
  abbiamo 
  che 
  il 
  

   modulo 
  caratteristico 
  di 
  un 
  qualsiasi 
  gruppo 
  G 
  della 
  I 
  categoria 
  è 
  formato 
  da 
  funzioni 
  

   di 
  z, 
  x, 
  p 
  ed 
  y, 
  tali 
  che, 
  ove 
  in 
  esse 
  si 
  ponga 
  y 
  = 
  cost. 
  , 
  si 
  ottiene 
  il 
  modulo 
  caratte- 
  

   ristico 
  di 
  un 
  gruppo 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano 
  xz. 
  

  

  