﻿9 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  149 
  

  

  Noi 
  quindi 
  prenderemo 
  successivamente 
  a 
  considerare 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  tn 
  

   di 
  ciascun 
  gruppo 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano 
  z, 
  x 
  (modulo 
  che 
  sarà 
  

   costituito 
  di 
  funzioni 
  di 
  z, 
  x, 
  p) 
  e 
  determineremo, 
  rispetto 
  al 
  gruppo 
  di 
  tutte 
  le 
  

   trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio, 
  tutti 
  i 
  tipi 
  di 
  moduli 
  soddisfacenti 
  alle 
  condi- 
  

   zioni 
  A), 
  B), 
  C) 
  del 
  n° 
  2, 
  che 
  si 
  possono 
  formare 
  combinando 
  linearmente 
  gli 
  elementi 
  

   di 
  m, 
  mediante 
  coefficienti 
  che 
  siano 
  funzioni 
  della 
  sola 
  y. 
  

  

  6. 
  — 
  Abbiamo 
  visto 
  come 
  la 
  nostra 
  ricerca 
  ci 
  conduca 
  a 
  considerare 
  tutti 
  i 
  tipi 
  

   di 
  gruppi 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano. 
  Ma 
  un'osservazione 
  dello 
  Scheffers 
  (*) 
  

   permette 
  anche 
  a 
  noi 
  di 
  abbreviare 
  la 
  via. 
  

  

  Noi, 
  com'è 
  naturale, 
  ci 
  proponiamo 
  di 
  determinare 
  i 
  gruppi 
  di 
  trasformazioni 
  

   di 
  contatto 
  di 
  S 
  3 
  irreducibili, 
  cioè 
  i 
  gruppi 
  che 
  non 
  sono 
  equivalenti, 
  mediante 
  una 
  

   trasformazione 
  di 
  contatto 
  a 
  gruppi 
  puntuali 
  (estesi 
  agli 
  elementi 
  differenziali 
  del 
  

   1° 
  ordine). 
  

  

  Ora 
  lo 
  Scheffers 
  ha 
  dimostrato 
  che 
  se 
  si 
  assume 
  come 
  gruppo 
  accorciato 
  G 
  un 
  

   gruppo 
  piano 
  reducibile, 
  è 
  tale 
  altresì 
  ogni 
  gruppo 
  G 
  della 
  I 
  categoria, 
  a 
  cui 
  esso 
  

   dia 
  origine 
  ; 
  e 
  se 
  G 
  è 
  reducibile 
  sono 
  pur 
  reducibili 
  tutti 
  i 
  gruppi 
  della 
  II 
  categoria 
  

   che 
  ad 
  esso 
  corrispondono. 
  

  

  Noi 
  perciò 
  dei 
  gruppi 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano 
  considereremo 
  

   soltanto 
  quelli 
  irreducibili. 
  Essi 
  sono 
  ben 
  noti 
  dalle 
  ricerche 
  del 
  Lie 
  e 
  si 
  riducono 
  

   ai 
  seguenti 
  sei 
  tipi, 
  di 
  cui 
  tre 
  sono 
  finiti 
  e 
  tre 
  infiniti 
  ( 
  2 
  ) 
  : 
  

  

  a) 
  gruppo 
  co 
  10 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  che 
  ammettono 
  come 
  invariante 
  

   il 
  sistema 
  lineare 
  di 
  parabole 
  : 
  

  

  z 
  = 
  a 
  t 
  x 
  2 
  -f- 
  2a 
  2 
  oi 
  -j- 
  a 
  3 
  ; 
  

  

  questo 
  gruppo, 
  che 
  noi 
  designeremo 
  con 
  g 
  10 
  , 
  ammette 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  definito 
  

   delle 
  seguenti 
  dieci 
  funzioni 
  ( 
  3 
  ): 
  

  

  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  22, 
  x 
  (xp 
  — 
  22), 
  p 
  (xp 
  — 
  22), 
  (xp 
  — 
  2z) 
  2 
  ; 
  

  

  b) 
  gruppo 
  co 
  7 
  , 
  contenuto 
  nel 
  precedente, 
  che 
  ammette 
  il 
  modulo 
  : 
  

  

  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  22; 
  

  

  designeremo 
  questo 
  gruppo 
  con 
  gr 
  7 
  ; 
  

  

  e) 
  gruppo 
  co 
  6 
  , 
  pur 
  esso 
  contenuto 
  nei 
  due 
  precedenti, 
  che 
  è 
  definito 
  dal 
  modulo 
  : 
  

  

  \,x,p, 
  x 
  2 
  , 
  xp,p 
  2 
  

  

  e 
  che 
  noi 
  indicheremo 
  con 
  gr 
  6 
  ; 
  

  

  ( 
  4 
  ) 
  Loc. 
  cit., 
  pag. 
  124 
  e 
  segg. 
  

  

  ( 
  5 
  ) 
  Cfr., 
  p. 
  es., 
  Lie-Engel, 
  Theorie 
  der 
  Transformationsgruppen, 
  Bd. 
  II, 
  pag. 
  433 
  e 
  Lie, 
  Vhtersuehungen 
  

   Uber 
  unendliche 
  continuirliche 
  Grappen, 
  " 
  Abhandl. 
  der 
  K. 
  Sachs. 
  Gesell. 
  d. 
  W. 
  „. 
  Bd. 
  XXI, 
  n. 
  Ili, 
  1895. 
  

  

  ( 
  3 
  ) 
  Notoriamente 
  a 
  questo 
  tipo 
  appartiene 
  anche 
  il 
  gruppo 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dei 
  

   cerchi 
  del 
  piano. 
  Abbiamo 
  preferito 
  assumere 
  come 
  rappresentante 
  del 
  tipo 
  il 
  gruppo 
  delle 
  parabole, 
  

   perchè 
  il 
  suo 
  modulo 
  caratteristico 
  si 
  presta 
  meglio 
  agli 
  sviluppi 
  analitici, 
  cui 
  dovremo 
  ricorrere 
  

   nel 
  seguito. 
  

  

  