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  UGO 
  AMALDI 
  10 
  

  

  d) 
  gruppo 
  di 
  tutte 
  le 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano: 
  il 
  suo 
  modulo 
  

   contiene 
  tutte 
  le 
  possibili 
  funzioni 
  : 
  

  

  cp 
  (x, 
  z, 
  p) 
  ; 
  

  

  e) 
  gruppo 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto, 
  che 
  trasformano 
  fra 
  di 
  loro 
  (cioè 
  

   indipendentemente 
  da 
  x) 
  le 
  due 
  variabili 
  x, 
  p 
  : 
  il 
  suo 
  modulo 
  caratteristico 
  è 
  dato 
  da 
  : 
  

  

  z, 
  qp 
  {x, 
  p) 
  

  

  ove 
  (p 
  rappresenta 
  una 
  funzione 
  arbitraria 
  dei 
  suoi 
  due 
  argomenti 
  ; 
  

  

  f) 
  gruppo 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  che 
  trasformano 
  in 
  se 
  non 
  soltanto 
  

   l'equazione 
  pfaffiana 
  fondamentale, 
  ma 
  lo 
  stesso 
  pfaffiano 
  : 
  

  

  dz 
  — 
  pdx 
  — 
  qdy 
  ; 
  

  

  il 
  modulo 
  caratteristico 
  di 
  questo 
  gruppo 
  è 
  dato 
  da 
  tutte 
  le 
  funzioni 
  : 
  

  

  (p(.r, 
  /«) 
  

   di 
  x 
  e 
  p. 
  

  

  I 
  gruppi 
  a) 
  e 
  d) 
  sono 
  semplici 
  ; 
  mentre 
  i 
  gruppi 
  e) 
  ed 
  f) 
  sono 
  sottogruppi 
  inva- 
  

   rianti 
  rispettivamente 
  di 
  b) 
  ed 
  e). 
  

  

  III. 
  Sui 
  gruppi 
  massimi 
  della 
  prima 
  categoria, 
  

   che 
  su 
  ogni 
  piano 
  invariante 
  subordinano 
  un 
  gruppo 
  finito. 
  

  

  7. 
  — 
  Il 
  modulo 
  caratteristico 
  di 
  un 
  gruppo 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  che 
  

   trasformi 
  in 
  se 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  (considerato, 
  naturalmente, 
  come 
  varietà 
  oo* 
  di 
  

   elementi) 
  e 
  subordini 
  su 
  di 
  esso 
  il 
  gruppo 
  oo 
  10 
  delle 
  parabole 
  : 
  

  

  z 
  =z 
  diX 
  2 
  + 
  2« 
  2 
  x 
  -j- 
  a 
  3 
  , 
  

   sarà 
  costituito 
  di 
  funzioni 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  t*i 
  + 
  a 
  2 
  x 
  + 
  a 
  3 
  p 
  + 
  a 
  4 
  x°- 
  -f- 
  ct 
  5 
  xp 
  + 
  a 
  6 
  p 
  2 
  + 
  a 
  7 
  (xp 
  — 
  2z) 
  + 
  

  

  + 
  a 
  8 
  x(xp 
  — 
  2z) 
  + 
  a 
  9 
  ^ 
  (xp 
  — 
  2z) 
  + 
  a 
  10 
  (xp 
  — 
  2«) 
  2 
  , 
  

  

  dove 
  le 
  a, 
  sono 
  funzioni 
  della 
  sola 
  y. 
  E 
  il 
  più 
  ampio 
  gruppo 
  siffatto 
  si 
  otterrà 
  

   attribuendo 
  a 
  ciascuna 
  di 
  codeste 
  dieci 
  funzioni 
  la 
  massima 
  possibile 
  arbitrarietà, 
  

   vale 
  a 
  dire 
  facendo 
  che 
  ciascuna 
  sia, 
  indipendentemente 
  dalle 
  altre, 
  suscettibile 
  di 
  

   ogni 
  possibile 
  determinazione. 
  Otteniamo 
  cosi 
  un 
  gruppo 
  che 
  rappresenteremo 
  mediante 
  

   il 
  sistema 
  fondamentale 
  delle 
  sue 
  funzioni 
  caratteristiche 
  : 
  

  

  