﻿18 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  153 
  

  

  di 
  elementi 
  superficiali 
  a 
  due 
  a 
  due 
  uniti 
  (punto, 
  curva 
  o 
  superficie) 
  corrisponderà 
  

   in 
  S 
  b 
  una 
  varietà 
  a 
  due 
  dimensioni 
  appartenente 
  al 
  sistema 
  nullo 
  (5), 
  nel 
  senso 
  che 
  

   lo 
  St 
  tangente 
  ad 
  essa 
  in 
  ogni 
  suo 
  punto 
  P, 
  giacerà 
  sullo 
  S 
  4 
  che 
  la 
  (5) 
  coordina 
  

   al 
  punto 
  P 
  stesso. 
  In 
  particolare 
  alle 
  varietà 
  di 
  elementi 
  aventi 
  per 
  sostegno 
  le 
  para- 
  

   bole 
  (1), 
  cioè 
  alle 
  : 
  

  

  z 
  = 
  (h 
  x 
  2 
  + 
  2a 
  2 
  x 
  + 
  a 
  3 
  , 
  y 
  = 
  a 
  4 
  , 
  p 
  = 
  2 
  (a 
  x 
  .r 
  -f- 
  a 
  2 
  ), 
  

  

  corrisponderanno 
  in 
  S 
  ò 
  gli 
  oc 
  4 
  >' 
  2 
  : 
  

  

  208*1 
  + 
  x 
  3 
  + 
  2« 
  3 
  = 
  

   (6) 
  20!*! 
  — 
  x 
  2 
  — 
  2a 
  2 
  = 
  

  

  ' 
  x 
  t 
  — 
  a 
  t 
  = 
  0. 
  

  

  Perciò 
  il 
  gruppo 
  G, 
  che 
  corrisponde 
  ad 
  [1] 
  mediante 
  le 
  (3). 
  sarà 
  il 
  più 
  ampio 
  

   gruppo 
  puntuale 
  di 
  S 
  b 
  che 
  lascia 
  fermo 
  ogni 
  S 
  t 
  r 
  4 
  = 
  cost. 
  e 
  permuta 
  gli 
  uni 
  negli 
  

   altri 
  gli 
  a 
  4 
  S 
  2 
  (6). 
  Ma 
  abbiamo 
  di 
  più 
  che 
  il 
  gruppo 
  G, 
  come 
  risulta 
  dalle 
  (2) 
  e 
  (3), 
  

   ammette 
  equazioni 
  finite 
  della 
  forma: 
  

  

  = 
  A; 
  (e,. 
  /•_>. 
  x 
  s 
  , 
  Xfj 
  

   — 
  Ao 
  (r,. 
  gg, 
  :r 
  -, 
  ./•.,) 
  

   = 
  -V 
  

  

  = 
  Xt 
  

  

  = 
  A 
  5 
  (Xi, 
  T 
  2 
  , 
  3*3, 
  

  

  

  X 
  

  

  *6 
  

  

  consideriamo 
  allora 
  il 
  gruppo 
  accorciato 
  G 
  definito 
  dalle 
  prime 
  quattro 
  equa- 
  

   zioni 
  (7), 
  e 
  per 
  fissare 
  le 
  idee 
  lo 
  immaginiamo 
  come 
  operante 
  sui 
  punti 
  dello 
  S 
  4 
  

   x 
  5 
  = 
  0, 
  avremo 
  che 
  esso 
  trasforma 
  in 
  sé 
  ogni 
  .S' 
  3 
  x± 
  — 
  r., 
  1 
  ' 
  (= 
  cost.) 
  e 
  in 
  ciascuno 
  

   di 
  questi 
  permuta 
  le 
  oo 
  8 
  rette 
  : 
  

  

  i 
  J«,,r, 
  4- 
  x 
  3 
  + 
  2<i 
  3 
  = 
  

  

  (8) 
  

  

  ' 
  2(1,*, 
  — 
  x 
  2 
  — 
  2a 
  2 
  = 
  " 
  

  

  intersezioni 
  dello 
  S 
  4 
  considerato 
  cogli 
  S 
  t 
  (6). 
  

  

  Codesto 
  '-'■ 
  rette 
  costituiscono 
  il 
  complesso 
  lineare 
  definito 
  nello 
  S 
  3 
  considerato 
  

   (x 
  6 
  = 
  0, 
  r, 
  = 
  x 
  4 
  ) 
  dall'equazione 
  accorciata 
  (invariante 
  rispetto 
  al 
  gruppo 
  subordinato 
  

   in 
  esso 
  dal 
  G\ 
  : 
  

  

  (9) 
  <ix 
  3 
  — 
  x 
  x 
  dx2 
  -f- 
  x 
  2 
  dx 
  x 
  = 
  ; 
  

  

  dal 
  che, 
  essendo 
  O 
  il 
  più 
  ampio 
  gruppo 
  soddisfacente 
  in 
  .S' 
  4 
  alle 
  suindicate 
  condizioni, 
  

   deduciamo 
  che 
  in 
  ogni 
  S 
  3 
  x 
  t 
  = 
  0, 
  x 
  t 
  = 
  Xi° 
  il 
  gruppo 
  accorciato 
  G 
  subordina 
  il 
  gruppo 
  

   puntuale 
  totale 
  che 
  trasforma 
  in 
  se 
  il 
  complesso 
  lineare 
  (8). 
  Ma 
  è 
  notorio 
  che 
  questo 
  

  

  Serie 
  II. 
  Tom. 
  LVII 
  t 
  

  

  