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  €G0 
  A3IALDI 
  

  

  14 
  

  

  gruppo 
  è 
  proiettivo 
  ed 
  co 
  10 
  : 
  onde 
  concludiamo 
  che 
  per 
  avere 
  le 
  equazioni 
  finite 
  del 
  

   gruppo 
  accorciato 
  G 
  basta 
  considerare 
  in 
  S 
  s 
  le 
  equazioni 
  finite 
  del 
  gi-uppo 
  proiet- 
  

   tivo 
  ce 
  10 
  del 
  complesso 
  (8), 
  sostituire 
  in 
  esse 
  ad 
  ognuno 
  dei 
  dieci 
  parametri 
  una 
  

   funzione 
  arbitraria 
  di 
  x 
  é 
  e 
  aggiungere 
  alle 
  tre 
  equazioni 
  così 
  ottenute 
  la 
  x\ 
  = 
  cc^. 
  

   Il 
  gruppo 
  accorciato 
  così 
  ottenuto 
  dipende 
  in 
  modo 
  essenziale 
  da 
  dieci 
  funzioni 
  

   arbitrarie 
  di 
  <r 
  4 
  , 
  come 
  appunto 
  il 
  gruppo 
  primitivo 
  G; 
  cosicché 
  ad 
  ogni 
  trasforma- 
  

   zione 
  del 
  gruppo 
  accorciato 
  corrisponderà 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  trasformazioni 
  del 
  

   gruppo 
  G 
  e 
  la 
  quinta 
  equazione 
  di 
  questo 
  : 
  

  

  # 
  5 
  = 
  -A-5 
  (^li 
  - 
  C 
  2ì 
  X 
  ìl 
  X 
  ±i 
  #5) 
  

  

  non 
  conterrà 
  nessun 
  ulteriore 
  elemento 
  arbitrario. 
  Questa 
  si 
  otterrà 
  tenendo 
  conto 
  

   della 
  condizione, 
  che 
  insieme 
  con 
  le 
  altre 
  quattro, 
  deve 
  trasformare 
  in 
  sé 
  l'equazione 
  (5). 
  

  

  Notiamo 
  che 
  in 
  sostanza 
  il 
  gruppo 
  del 
  complesso 
  (8) 
  subordinato 
  dal 
  gruppo 
  

   accorciato 
  G 
  in 
  ciascun 
  S 
  3 
  x± 
  = 
  .r 
  4 
  ° 
  corrisponde 
  mediante 
  le 
  (3) 
  al 
  gruppo 
  di 
  trasfor- 
  

   mazioni 
  di 
  contatto 
  piane 
  che 
  il 
  gruppo 
  accorciato 
  di 
  [1] 
  subordina 
  su 
  ogni 
  piano 
  

   f/ 
  = 
  cost., 
  cioè 
  al 
  gruppo 
  oo 
  10 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  delle 
  solite 
  parabole. 
  

   Questa 
  corrispondenza 
  fra 
  codesti 
  due 
  gruppi 
  finiti 
  a 
  10 
  parametri 
  è 
  precisamente 
  

   attuata 
  dalla 
  già 
  ricordata 
  rappresentazione 
  del 
  Lie 
  (degli 
  elementi 
  lineari 
  del 
  piano 
  

   sui 
  punti 
  dello 
  spazio), 
  che 
  è 
  definita 
  dalle 
  prime 
  tre 
  equazioni 
  (3) 
  ( 
  x 
  ). 
  

  

  Ci 
  sarà 
  utile 
  nel 
  seguito 
  il 
  possedere 
  le 
  relazioni 
  di 
  isomorfismo 
  che 
  così 
  si 
  sta- 
  

   biliscono 
  fra 
  codesti 
  due 
  gruppi 
  finiti 
  oo 
  10 
  : 
  se 
  al 
  solito 
  rappresentiamo 
  le 
  trasformazioni 
  

   infinitesime 
  di 
  contatto 
  per 
  mezzo 
  delle 
  rispettive 
  funzioni 
  caratteristiche 
  le 
  accen- 
  

   nate 
  relazioni 
  sono 
  le 
  seguenti, 
  come 
  risulta 
  da 
  un 
  calcolo 
  elementarissimo 
  ( 
  2 
  ) 
  : 
  

  

  (10) 
  

  

  ^^ 
  

  

  òf 
  

   àx 
  s 
  

  

  à*s 
  

  

  9f 
  1 
  òf 
  

  

  x 
  2 
  00 
  — 
  2a 
  , 
  l 
  

  

  

  àf 
  òf 
  

  

  P 
  *co2* 
  2 
  -gl 
  

   xp 
  -2zc* 
  Xtl 
  L.+ 
  Xal 
  L- 
  

  

  5«l 
  

  

  òf 
  

  

  V, 
  

  

  (') 
  Veramente 
  il 
  Lie 
  pone 
  Xt 
  = 
  x, 
  x% 
  = 
  — 
  p, 
  .r, 
  = 
  ; 
  

  

  ■xp. 
  

  

  ( 
  2 
  ) 
  Si 
  ricordi 
  che 
  la 
  trasformazione 
  infinitesima 
  corrispondente 
  alla 
  funzione 
  caratteristica 
  We 
  

  

  d 
  W 
  

   data 
  da 
  J 
  W,f[—f-r—. 
  

  

  