﻿156 
  UGO 
  AMALDI 
  16 
  

  

  IO. 
  — 
  È 
  altresì 
  facile 
  vedere 
  come 
  dalle 
  equazioni 
  finite 
  del 
  gruppo 
  [2] 
  si 
  

   deducano 
  quelle 
  del 
  gruppo 
  [7] 
  , 
  che 
  subordina 
  su 
  ciascun 
  piano 
  invariante 
  il 
  gruppo 
  

   piano 
  irreducibile 
  oo 
  6 
  . 
  

  

  Come 
  risulta 
  dalle 
  (10) 
  il 
  gruppo 
  corrispondente 
  in 
  S 
  5 
  al 
  gruppo 
  [7] 
  è 
  tale 
  che 
  

   il 
  suo 
  gruppo 
  accorciato 
  (relativo 
  allo 
  $ 
  4 
  % 
  = 
  0) 
  subordina 
  in 
  ciascuno 
  S 
  3 
  x± 
  — 
  cosi, 
  

   # 
  5 
  = 
  il 
  gruppo 
  oo 
  6 
  delle 
  affinità 
  equivalenti, 
  che 
  trasformano 
  in 
  se 
  il 
  solito 
  complesso 
  

   lineare 
  (8). 
  

  

  Perciò 
  per 
  avere 
  le 
  equazioni 
  di 
  codesto 
  gruppo 
  subordinato 
  in 
  S 
  3 
  dovremo 
  

   estrarre 
  dal 
  gruppo 
  (12) 
  delle 
  affinità 
  del 
  complesso 
  le 
  affinità 
  equivalenti; 
  onde, 
  

   avendosi 
  che 
  il 
  rapporto 
  costante 
  in 
  cui 
  la 
  (12) 
  trasforma 
  i 
  volumi 
  è 
  dato 
  dal 
  modulo 
  

   della 
  sostituzione 
  lineare, 
  troviamo 
  che 
  si 
  dovrà 
  porre 
  : 
  

  

  (e 
  1 
  e 
  4 
  , 
  — 
  e 
  2 
  e 
  s 
  Y=l, 
  

  

  ossia, 
  poiché 
  ci 
  limitiamo 
  a 
  considerare 
  gruppi 
  continui, 
  escludendo 
  i 
  gruppi 
  misti: 
  

  

  e 
  l 
  e 
  i 
  — 
  • 
  e 
  ì 
  e 
  3 
  = 
  1 
  • 
  

  

  Concludendo, 
  le 
  equazioni 
  finite 
  del 
  gruppo 
  [7] 
  si 
  dedurranno 
  da 
  quelle 
  del 
  

   gruppo 
  [2] 
  sottoponendo 
  in 
  queste 
  le 
  funzioni 
  n 
  alla 
  relazione 
  : 
  

  

  lil-t 
  — 
  lils— 
  1 
  : 
  

  

  cosicché 
  le 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  gruppo 
  [7] 
  trasformano 
  in 
  sé 
  stesso 
  il 
  

  

  pfaffiano 
  : 
  

  

  eh 
  — 
  pdx 
  — 
  qdy. 
  

  

  Non 
  sarà 
  inutile 
  notare 
  fin 
  d'ora 
  che 
  il 
  gruppo 
  [7] 
  è 
  un 
  sottogruppo 
  invariante 
  di 
  [2]. 
  

  

  11. 
  — 
  Un 
  altro 
  sottogruppo 
  di 
  [1] 
  che 
  a 
  noi 
  tornerà 
  vantaggioso 
  è 
  il 
  gruppo 
  

   avente 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  : 
  

  

  (14) 
  q> 
  B 
  x(xp 
  — 
  2z), 
  tp 
  t 
  y(xp—2g), 
  q> 
  10 
  (xp 
  — 
  2zf, 
  

  

  (dove 
  al 
  solito 
  le 
  q>, 
  designano 
  funzioni 
  arbitrarie 
  di 
  y), 
  gruppo 
  che 
  è 
  certamente 
  

   reducibile 
  (n. 
  6) 
  e 
  che 
  perciò 
  non 
  comparirà 
  fra 
  i 
  tipi 
  della 
  nostra 
  classificazione. 
  

   Il 
  gruppo 
  di 
  S 
  5 
  , 
  cui 
  dà 
  luogo 
  il 
  gruppo 
  (14), 
  mediante 
  la 
  solita 
  rappresenta- 
  

   zione 
  (3) 
  degli 
  elementi 
  superficiali 
  di 
  »S 
  3 
  sui 
  punti 
  di 
  S 
  5 
  , 
  ammette 
  un 
  gruppo 
  accorciato 
  

   che 
  in 
  ogni 
  S 
  s 
  x 
  b 
  — 
  0, 
  x 
  i 
  = 
  x 
  i 
  ° 
  subordina, 
  come 
  risulta 
  dalle 
  (11), 
  il 
  gruppo 
  proiet- 
  

   tivo 
  oo 
  3 
  del 
  solito 
  complesso 
  (8) 
  generato 
  dalle 
  tre 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  : 
  

  

  X 
  * 
  ÒX, 
  ^V"! 
  bXì 
  +^ 
  ÒX, 
  •** 
  òxj 
  

  

  (15) 
  j 
  ,,£+^,£4.^+,,^) 
  

  

  « 
  {« 
  %+*>-&+ 
  - 
  £) 
  • 
  

  

  (') 
  Le 
  equazioni 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  gruppo 
  [2] 
  si 
  trovano 
  già 
  nella 
  più 
  volte 
  

   citata 
  Dissertazione 
  dello 
  Scheffers. 
  

  

  