﻿17 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  157 
  

  

  nel 
  quale 
  si 
  riconosce 
  il 
  gruppo 
  delle 
  omografìe 
  biassialì 
  paraboliche, 
  che 
  trasformano 
  

   in 
  se 
  il 
  complesso 
  (8) 
  e 
  hanno 
  per 
  assi 
  le 
  oo 
  1 
  rette 
  del 
  complesso 
  appartenenti 
  ad 
  

   un 
  punto 
  (x 
  1 
  = 
  x 
  2 
  = 
  x 
  % 
  = 
  0) 
  e, 
  quindi, 
  ad 
  un 
  piano 
  {x 
  3 
  = 
  0). 
  

  

  Scritte 
  le 
  equazioni 
  finite 
  di 
  (15), 
  il 
  che 
  si 
  ottiene 
  con 
  una 
  facile 
  integrazione, 
  

   si 
  trova, 
  seguendo 
  il 
  solito 
  procedimento 
  (n. 
  8) 
  che 
  le 
  equazioni 
  del 
  gruppo 
  infinito 
  

   di 
  S 
  6 
  sono 
  date 
  da: 
  

  

  „ 
  I 
  «1 
  + 
  19*3 
  

  

  X 
  t 
  = 
  

  

  (16) 
  

  

  1- 
  

  

  - 
  Isa 
  1 
  , 
  - 
  

  

  19*2 
  — 
  

  

  2tll0^3 
  

  

  

  # 
  2 
  

  

  — 
  18*3 
  

  

  

  1- 
  

  

  - 
  «18*1 
  _ 
  

  

  " 
  19»2 
  ~ 
  

   «3 
  

  

  - 
  2r| 
  10 
  rr 
  3 
  

  

  x 
  2 
  ' 
  = 
  

  

  x 
  J=z 
  ■ 
  

  

  1 
  — 
  rjg^ 
  — 
  r| 
  9 
  a; 
  3 
  — 
  2r|io^3 
  

  

  xl 
  = 
  #4 
  

  

  x 
  s 
  ' 
  = 
  f(x 
  u 
  X 
  2 
  , 
  X 
  S 
  , 
  Xi, 
  x 
  5 
  ) 
  

  

  dove, 
  al 
  solito, 
  le 
  r) 
  8 
  , 
  n 
  9 
  , 
  n 
  10 
  designano 
  funzioni 
  arbitrarie 
  di 
  a; 
  4 
  e 
  abbiamo 
  tralasciato 
  

   di 
  scrivere 
  la 
  complicata 
  e 
  per 
  noi 
  inutile 
  espressione 
  di 
  f. 
  

  

  Di 
  qui 
  si 
  ricavan 
  subito, 
  per 
  mezzo 
  delle 
  (3), 
  le 
  equazioni 
  delle 
  trasformazioni 
  

   di 
  contatto. 
  del 
  gruppo 
  (14); 
  che 
  a 
  noi 
  per 
  altro 
  non 
  è 
  necessario 
  di 
  avere 
  esplicita- 
  

   mente 
  scritte 
  (*). 
  

  

  IV. 
  Riduzione 
  a 
  forma 
  canonica 
  

   di 
  una 
  funzione 
  caratteristica 
  di 
  seconda 
  specie. 
  

  

  12. 
  — 
  Ponendo 
  qui 
  termine 
  alla 
  già 
  lunga 
  digressione 
  sulle 
  equazioni 
  finite 
  

   del 
  gruppo 
  [1] 
  e 
  dei 
  suoi 
  sottogruppi, 
  prendiamo 
  a 
  considerare 
  un 
  qualsivoglia 
  sotto- 
  

   gruppo 
  infinito 
  r 
  di 
  [1], 
  che 
  subordini 
  su 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  il 
  solito 
  gruppo 
  piano 
  

   finito 
  massimo 
  (oo 
  10 
  ). 
  Il 
  gruppo 
  V 
  di 
  S 
  b 
  , 
  corrispondente 
  a 
  T 
  mediante 
  la 
  solita 
  

   rappresentazione 
  (3) 
  del 
  cap. 
  prec. 
  , 
  ammetterà 
  un 
  gruppo 
  accorciato 
  l~, 
  che 
  subor- 
  

   dinerà 
  in 
  ciascun 
  S 
  s 
  x 
  b 
  = 
  0, 
  x 
  A 
  = 
  cost. 
  il 
  g 
  w 
  totale 
  del 
  complesso 
  lineare 
  (8) 
  del 
  

   capitolo 
  precedente. 
  

  

  Fissato 
  'uno 
  generico 
  di 
  codesti 
  S 
  3 
  , 
  p. 
  es. 
  lo 
  Sjj 
  # 
  5 
  = 
  0, 
  x± 
  = 
  x\, 
  consideriamo 
  

   in 
  esso 
  una 
  trasformazione 
  infinitesima 
  generica 
  di 
  g 
  10 
  , 
  intendendo 
  con 
  ciò 
  una 
  trasfor- 
  

   mazione 
  infinitesima, 
  che 
  lasci 
  fermi 
  soltanto 
  quattro 
  punti 
  (naturalmente 
  non 
  com- 
  

   planari) 
  e 
  quindi 
  nessun 
  piano 
  all'iufuori 
  delle 
  facce 
  del 
  tetraedro 
  e 
  nessuna 
  retta 
  

   all'infuori 
  dei 
  sei 
  spigoli 
  di 
  esso. 
  Poiché 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T 
  dipende 
  da 
  funzioni 
  arbitrarie, 
  

   codesta 
  trasformazione 
  infinitesima 
  X° 
  verrà 
  subordinata 
  in 
  S° 
  3 
  da 
  infinite 
  trasfor- 
  

   mazioni 
  infinitesime 
  distinte 
  del 
  gruppo 
  accorciato 
  T. 
  Se 
  allora 
  consideriamo 
  lo 
  S\ 
  

   #6 
  = 
  0, 
  a> 
  4 
  = 
  x" 
  t 
  -f- 
  dxi 
  , 
  infinitamente 
  vicino 
  ad 
  SI, 
  fra 
  le 
  considerate 
  trasformazioni 
  

  

  (') 
  Il 
  moltiplicatore 
  della 
  trasformazione 
  di 
  contatto 
  corrispondente 
  alla 
  (16) 
  è 
  dato 
  da: 
  

  

  p 
  = 
  (1 
  — 
  ris^i 
  — 
  n9» 
  2 
  — 
  2ni 
  »3) 
  -2 
  • 
  

  

  