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  VG0 
  AMA1DI 
  18 
  

  

  infinitesime 
  di 
  F 
  ve 
  ne 
  saranno 
  certamente 
  di 
  tali 
  che 
  subordinino 
  anche 
  in 
  SI 
  (come 
  

   in 
  SI) 
  una 
  trasformazione 
  infinitesima 
  generica; 
  e 
  poiché 
  il 
  coincidere 
  e 
  il 
  sovrap- 
  

   porsi 
  di 
  punti 
  o 
  rette 
  o 
  piani 
  uniti 
  dipende 
  da 
  condizioni 
  algebriche, 
  noi, 
  tenuto 
  

   conto 
  della 
  natura 
  analitica 
  delle 
  nostre 
  funzioni, 
  potremo 
  così 
  procedere 
  passo 
  passo 
  

   e 
  concludere 
  che 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T 
  contiene 
  certamente 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime, 
  

   che 
  in 
  ciascuno 
  degli 
  S 
  3 
  x- 
  = 
  0, 
  x± 
  = 
  cost. 
  (eccettuato 
  al 
  più 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  essi) 
  

   subordinano 
  delle 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  generiche. 
  

  

  Indicando 
  una 
  di 
  codeste 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  di 
  T 
  con 
  X, 
  sia 
  X 
  la 
  corri- 
  

   spondente 
  trasformazione 
  infinitesima 
  di 
  V, 
  e 
  sia 
  : 
  

  

  (1) 
  W= 
  cii 
  + 
  a 
  2 
  x 
  -\-a 
  s 
  p 
  + 
  OiX- 
  + 
  <W 
  + 
  a 
  sP~ 
  + 
  a 
  i(*P 
  — 
  2«) 
  + 
  

  

  + 
  a 
  s 
  x{xp 
  — 
  2z) 
  + 
  a 
  9 
  (xp 
  — 
  2z) 
  + 
  a 
  w 
  (xp 
  — 
  2zf 
  

  

  la 
  rispettiva 
  funzione 
  caratteristica 
  in 
  T, 
  dove 
  al 
  solito 
  le 
  a, 
  designano 
  funzioni 
  

   della 
  sola 
  y. 
  

  

  Uno 
  qualsiasi 
  dei 
  piani 
  invarianti 
  in 
  SI 
  rispetto 
  alla 
  trasformazione 
  infinitesima 
  

   accorciata 
  X 
  descriverà, 
  al 
  variare 
  di 
  S% 
  nel 
  fascio 
  di 
  S 
  s 
  ,r 
  4 
  = 
  cost. 
  entro 
  lo 
  S 
  4 
  x 
  6 
  = 
  0, 
  

   una 
  varietà 
  : 
  

  

  Yi(-f.i)*i 
  + 
  Ysta)^ 
  + 
  Vsfàfcs 
  +T4(-r 
  4 
  ) 
  = 
  0, 
  

  

  la 
  quale 
  sarà 
  invariante 
  rispetto 
  alla 
  X 
  e, 
  poiché 
  codesta 
  equazione 
  è 
  indipendente 
  da 
  x 
  b 
  , 
  

   anche 
  rispetto 
  alla 
  trasformazione 
  completa 
  X 
  di 
  S 
  b 
  . 
  E 
  notiamo 
  che 
  si 
  può 
  senz'altro 
  

   supporre 
  che 
  la 
  funzione 
  y 
  4 
  (.t 
  4 
  ) 
  non 
  sia 
  identicamente 
  nulla; 
  giacché, 
  se 
  così 
  fosse, 
  

   basterebbe 
  eseguire 
  prima 
  una 
  trasformazione 
  : 
  

  

  T) 
  x 
  1 
  =x 
  1 
  ', 
  x, 
  — 
  rJ. 
  x 
  s 
  = 
  r,' 
  - 
  n, 
  t 
  t 
  = 
  r,'. 
  x 
  6 
  - 
  x 
  5 
  ' 
  - 
  - 
  n', 
  

  

  ottenuta 
  dalla 
  (12) 
  ponendosi: 
  

  

  ni 
  — 
  n 
  , 
  — 
  1. 
  n 
  a 
  = 
  Is 
  == 
  la 
  = 
  la 
  = 
  0. 
  n- 
  = 
  n 
  ; 
  

  

  infatti 
  codesta 
  trasformazione 
  T 
  dà 
  luogo 
  in 
  ciascuno 
  S 
  s 
  x 
  b 
  = 
  0, 
  * 
  4 
  = 
  a?° 
  ad 
  una 
  

   traslazione 
  parallela 
  all'asse 
  .r 
  3 
  . 
  di 
  ampiezza 
  t\(x 
  !. 
  

  

  Supposto 
  dunque 
  n 
  =■= 
  0, 
  serviamoci 
  delle 
  trasformazioni 
  del 
  gruppo 
  considerato 
  

   al 
  n. 
  prec, 
  e 
  trasformiamo 
  il 
  gruppo 
  T 
  mediante 
  una 
  trasformazione 
  (16) 
  [n. 
  prec] 
  

   in 
  cui 
  siasi 
  post' 
  : 
  

  

  * 
  = 
  -%>*=-%< 
  "-=-?■ 
  

  

  La 
  nostra 
  trasformazione 
  intinitesima 
  X 
  si 
  trasformerà 
  in 
  una 
  trasformazione 
  

   infinitesima 
  X', 
  tale 
  che 
  la 
  sua 
  accorciata 
  subordinerà 
  ancora 
  in 
  ogni 
  S 
  a 
  r 
  6 
  = 
  0. 
  .r 
  4 
  =cost. 
  

   una 
  trasformazione 
  infinitesima 
  generica, 
  e 
  di 
  più, 
  come 
  risulta 
  dalla 
  forma 
  delle 
  (16) 
  

   [cap. 
  prec], 
  avrà 
  in 
  ciascuno 
  di 
  codesti 
  8 
  3 
  come 
  S 
  2 
  unito 
  lo 
  8j 
  improprio. 
  

  

  Ciò 
  vuol 
  dire, 
  se 
  ci 
  riferiamo 
  alle 
  funzioni 
  caratteristiche 
  e 
  teniamo 
  conto 
  delle 
  

  

  