﻿21 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  161 
  

  

  che 
  nasce 
  dalla 
  trasformazione 
  di 
  S 
  3 
  (rotazione 
  di 
  un 
  quadrante 
  intorno 
  all'asse 
  x 
  s 
  ) 
  

  

  X\ 
  X2j 
  X2 
  Xi 
  . 
  x$ 
  — 
  x$ 
  , 
  

  

  la 
  quale 
  alla 
  sua 
  volta 
  si 
  deduce 
  dalla 
  (12). 
  del 
  cap. 
  prec. 
  ponendovi 
  

   Ha 
  = 
  — 
  r\ 
  s 
  = 
  — 
  1, 
  rii 
  = 
  14 
  = 
  % 
  = 
  n 
  6 
  = 
  ti? 
  = 
  0. 
  

   Resta 
  così 
  da 
  discutere 
  il 
  caso, 
  in 
  cui, 
  essendo 
  

  

  la 
  (1) 
  ha 
  la 
  forma 
  : 
  

  

  (9) 
  Pi 
  + 
  fax 
  + 
  fap 
  + 
  (fax 
  + 
  fap)* 
  + 
  M*P 
  — 
  2z). 
  

  

  Ora 
  questa 
  funzione 
  anzitutto, 
  per 
  mezzo 
  della 
  trasformazione 
  di 
  contatto 
  appar- 
  

   tenente 
  al 
  gruppo 
  [2] 
  (cfr. 
  le 
  (12) 
  del 
  cap. 
  prec.) 
  

  

  x' 
  = 
  fax 
  + 
  fap 
  

  

  p' 
  = 
  Pr 
  l 
  i? 
  

  

  x'p' 
  — 
  2z 
  = 
  xp 
  — 
  2z, 
  ecc. 
  

   si 
  riduce 
  alla 
  forma 
  : 
  

  

  (10) 
  Pi 
  + 
  T 
  8 
  » 
  + 
  Tsi» 
  + 
  «' 
  2 
  + 
  Pr(aLP 
  — 
  2s) 
  ; 
  

  

  e 
  allora 
  ricordando 
  la 
  (3) 
  si 
  vede 
  senz'altro 
  che 
  se 
  è 
  fa 
  =j= 
  la 
  funzione 
  è 
  trasfor- 
  

   mabile 
  in 
  una 
  funzione 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  (11) 
  af 
  + 
  p(arp 
  — 
  2z). 
  

  

  Ma 
  questa 
  funzione 
  è 
  subito 
  riducibile 
  ad 
  uno 
  dei 
  tipi 
  già 
  enumerati 
  : 
  consideriamo 
  

   infatti 
  la 
  omografia 
  biassiale 
  armonica 
  del 
  solito 
  nostro 
  complesso 
  lineare 
  

  

  x%_ 
  1 
  _ 
  xl 
  

  

  Xl 
  — 
  *»' 
  ' 
  Xì 
  — 
  ai 
  ' 
  Xz 
  ~~ 
  xi 
  ' 
  

  

  (omografia 
  avente 
  per 
  assi 
  le 
  due 
  rette 
  

  

  x 
  x 
  — 
  ìc 
  3 
  = 
  0, 
  #2 
  + 
  1 
  =0 
  e 
  «1 
  + 
  ^3 
  = 
  0,^2 
  — 
  l=f=0, 
  

  

  polari 
  reciproche 
  rispetto 
  al 
  complesso 
  ( 
  x 
  )), 
  e 
  la 
  corrispondente 
  trasformazione 
  di 
  

   contatto 
  

  

  x'p' 
  — 
  2z 
  1 
  

  

  z 
  

  

  lini 
  xp— 
  ÙZ 
  i 
  

  

  (12) 
  #=— 
  — 
  ; 
  , 
  P=—, 
  

  

  (') 
  Nella 
  geometria 
  del 
  gruppo 
  proiettivo 
  oo 
  10 
  del 
  complesso 
  lineare 
  hanno 
  un 
  ufficio 
  importante 
  ' 
  

   le 
  oo' 
  omografie 
  biassiali 
  armoniche 
  aventi 
  per 
  assi 
  le 
  coppie 
  di 
  rette 
  polari 
  reciproche 
  rispetto 
  al 
  

   complesso. 
  Esse 
  hanno 
  qui 
  il 
  medesimo 
  posto 
  che 
  nel 
  gruppo 
  conforme 
  dello 
  spazio 
  spetta 
  alle 
  oc* 
  

   trasformazioni 
  per 
  raggi 
  vettori 
  reciproci. 
  Questo 
  ravvicinamento 
  non 
  è 
  casuale 
  : 
  la 
  classica 
  rappre- 
  

   sentazione 
  del 
  Lie 
  dello 
  spazio 
  rigato 
  sullo 
  spazio 
  delle 
  sfere 
  fa 
  corrispondere 
  ad 
  ogni 
  sfera 
  del 
  

   secondo 
  spazio 
  una 
  congruenza 
  lineare 
  appartenente 
  al 
  complesso 
  lineare 
  fondamentale 
  del 
  primo 
  

   spazio, 
  cioè 
  una 
  congruenza 
  avente 
  per 
  direttrici 
  due 
  rette 
  polari 
  reciproche 
  rispetto 
  al 
  complesso, 
  ecc. 
  

   Serie 
  II. 
  Tom. 
  LVII. 
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