﻿164 
  UG0 
  AMALDI 
  24 
  

  

  è 
  reducibile 
  ad 
  una 
  delle 
  forme 
  canoniche 
  a), 
  b), 
  e), 
  d), 
  e), 
  f). 
  Ma, 
  per 
  quanto 
  si 
  è 
  

   detto 
  al 
  n. 
  11, 
  a 
  noi 
  interessano 
  soltanto 
  le 
  funzioni 
  caratteristiche 
  (1) 
  a 
  cui 
  in 
  S 
  5 
  

   corrispondono 
  trasformazioni 
  infinitesime, 
  la 
  cui 
  trasformazione 
  accorciata 
  subordini 
  

   in 
  o»ni 
  S 
  s 
  x 
  b 
  = 
  0, 
  ar 
  4 
  — 
  cost. 
  una 
  trasformazione 
  infinitesima 
  generica 
  nel 
  senso 
  con- 
  

   venuto 
  al 
  n. 
  11. 
  Ora 
  per 
  avere 
  codesta 
  trasformazione 
  infinitesima 
  subordinata 
  in 
  S 
  3 
  

   x 
  _ 
  o 
  ( 
  3,4 
  = 
  #5, 
  basta 
  porre 
  y 
  = 
  x" 
  nella 
  funzione 
  caratteristica 
  di 
  cui 
  si 
  tratta 
  

   (0 
  in 
  altre 
  parole 
  considerare 
  i 
  coefficienti 
  P 
  come 
  costanti) 
  e 
  poi 
  tener 
  conto 
  delle 
  

   relazioni 
  di 
  isomorfismo 
  (10) 
  del 
  n. 
  8. 
  Troviamo 
  così 
  

  

  «„ 
  + 
  H*P- 
  2--) 
  -»(»-&+•» 
  g 
  f 
  2*. 
  è) 
  +"(*'£ 
  - 
  * 
  -B 
  

  

  —(*£-*£)+■■£ 
  

   —(£+■>£)-■**£ 
  

  

  c~2a^. 
  

  

  Ora 
  è 
  facile 
  convincersi 
  che 
  di 
  queste 
  trasformazioni 
  infinitesime 
  è 
  generica 
  

   soltanto 
  la 
  a); 
  ed 
  anzi 
  la 
  stessa 
  a) 
  perde 
  questo 
  suo 
  carattere 
  non 
  appena 
  sia 
  

  

  a 
  = 
  0,oP 
  = 
  0, 
  a 
  = 
  Poa 
  = 
  -P 
  (*). 
  

  

  Noi 
  possiamo 
  allora, 
  come 
  riassunto 
  della 
  discussione 
  del 
  n. 
  prec, 
  precisare 
  il 
  

   risultato 
  del 
  n. 
  11 
  affermando, 
  che 
  in 
  ogni 
  tipo 
  di 
  sottogruppi 
  infiniti 
  di 
  [1], 
  che 
  subor- 
  

   dinino 
  su 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  il 
  gruppo 
  piano 
  finito 
  massimo, 
  esistono 
  certamente 
  dei 
  

   gruppi, 
  che 
  fra 
  le 
  loro 
  funzioni 
  caratteristiche 
  contengono 
  funzioni 
  della 
  forma: 
  

  

  (15) 
  tv 
  = 
  a{y)xp 
  + 
  p(y) 
  (xp 
  ~ 
  2z) 
  

   dove 
  le 
  a, 
  p 
  soddisfanno 
  alle 
  condizioni 
  

  

  (16) 
  a=i=0, 
  P=i=0, 
  a+p=f=0, 
  a 
  — 
  p=!=0. 
  

  

  a) 
  

  

  axp 
  -\- 
  P 
  ( 
  

  

  b) 
  

  

  axp 
  -\- 
  P 
  

  

  0) 
  

  

  ax 
  + 
  2Pz 
  

  

  d) 
  

  

  ap 
  + 
  Pz 
  2 
  

  

  e) 
  

  

  ax 
  

  

  f) 
  

  

  a 
  

  

  (') 
  In 
  generale 
  la 
  o) 
  lascia 
  fermi 
  soltanto 
  il 
  punto 
  origine 
  e 
  i 
  punti 
  all'infinito 
  degli 
  assi 
  coor- 
  

   dinati: 
  ma 
  se 
  (3 
  = 
  restano 
  fermi 
  anche 
  tutti 
  i 
  punti 
  dell'asse 
  delle 
  x 
  3 
  : 
  ed 
  analogamente 
  se 
  a 
  = 
  0. 
  

   Per 
  a 
  = 
  (5 
  sono 
  uniti 
  tutti 
  i 
  punti 
  dell'asse 
  x 
  3 
  e 
  tutti 
  i 
  punti 
  improprii 
  del 
  piano 
  x 
  t 
  x 
  3 
  : 
  mentre 
  

   per 
  a 
  = 
  — 
  (3 
  sono 
  uniti 
  tutti 
  i 
  punti 
  dell'asse 
  a,, 
  e 
  tutti 
  i 
  punti 
  improprii 
  del 
  piano 
  x 
  t 
  x 
  3 
  . 
  Del 
  resto 
  

   questi 
  due 
  ultimi 
  sono 
  manifestamente 
  riducibili 
  l'uno 
  all'altro. 
  

  

  La 
  b) 
  ammette 
  soltanto 
  tre 
  punti 
  uniti 
  distinti, 
  uno 
  dei 
  quali 
  ammette 
  un 
  punto 
  unito 
  infini- 
  

   tamente 
  vicino 
  : 
  i 
  tre 
  punti 
  uniti 
  sono 
  i 
  tre 
  punti 
  improprii 
  degli 
  assi 
  e 
  quello 
  che 
  va 
  contato 
  

   due 
  volte 
  è 
  il 
  punto 
  all'infinito 
  dell'asse 
  ar 
  3 
  . 
  

  

  Rispetto 
  alla 
  e) 
  restano 
  fermi 
  soltanto 
  due 
  punti 
  : 
  i 
  punti 
  all'infinito 
  dell'asse 
  x 
  s 
  e 
  dell'asse 
  x 
  s 
  

   (la 
  cui 
  congiungente 
  appartiene 
  al 
  complesso): 
  sono 
  inoltre 
  uniti 
  l'asse 
  .r 
  a 
  e 
  la 
  retta 
  impropria 
  del 
  

   piano 
  x 
  t 
  x 
  3 
  d'una 
  e 
  l'altro 
  appartenenti 
  al 
  complesso). 
  

  

  La 
  d) 
  lascia 
  fermo 
  un 
  sol 
  punto 
  (il 
  puuto 
  improprio 
  dell'asse 
  x 
  s 
  ) 
  e 
  una 
  sola 
  retta 
  (appartenente 
  

   al 
  complesso) 
  cioè 
  la 
  retta 
  impropria 
  del 
  piano 
  x,x 
  3 
  . 
  

  

  Rispetto 
  alla 
  e) 
  rimangono 
  fermi 
  tutti 
  i 
  punti 
  della 
  retta 
  all'infinito 
  del 
  piano 
  x^x 
  3 
  e 
  tutte 
  le 
  

   rette 
  del 
  complesso 
  giacenti 
  nel 
  piano 
  .r, 
  = 
  e 
  sul 
  piano 
  all'infinito. 
  

  

  La 
  f) 
  infine 
  è 
  una 
  traslazione 
  e 
  lascia 
  perciò 
  fermi 
  tutti 
  i 
  punti 
  improprii 
  e 
  tutte 
  le 
  rette 
  di 
  

   una 
  stella 
  impropria 
  (avente 
  per 
  centro 
  il 
  punto 
  improprio 
  dell'asse 
  x,). 
  

  

  