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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  165 
  

  

  V. 
  Sulle 
  equazioni 
  di 
  definizione 
  del 
  modulo 
  caratteristico. 
  

  

  15. 
  — 
  Prendiamo 
  a 
  considerare 
  un 
  sottogruppo 
  infinito 
  T 
  del 
  gruppo 
  [1]. 
  

   Il 
  suo 
  modulo 
  caratteristico 
  53t 
  soddisfarà 
  alle 
  condizioni 
  A), 
  B), 
  G) 
  del 
  n. 
  2. 
  

   Mentre 
  una 
  funzione 
  caratteristica 
  di 
  T 
  

  

  (1) 
  W= 
  a 
  x 
  + 
  a 
  2 
  x 
  4- 
  ot 
  3 
  ^ 
  + 
  a 
  4 
  x 
  2 
  -f- 
  a 
  b 
  xp 
  -f 
  a 
  6 
  p 
  2 
  + 
  a^xp 
  — 
  2») 
  + 
  

  

  + 
  a 
  s 
  x(xp 
  — 
  2z) 
  -\- 
  a 
  9 
  p(xp 
  — 
  2z) 
  -f- 
  a 
  10 
  (xp 
  — 
  2z) 
  2 
  

  

  varia, 
  descrivendo 
  l'intero 
  modulo 
  9JÌ, 
  ciascuna 
  delle 
  dieci 
  funzioni 
  componenti 
  a 
  f 
  

   varierà 
  in 
  un 
  modulo 
  m, 
  di 
  funzioni 
  della 
  sola 
  y. 
  

  

  Poiché 
  il 
  modulo 
  W 
  deve 
  dipendere 
  non 
  soltanto 
  da 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  costanti 
  

   arbitrarie, 
  sarà 
  tale 
  altresì 
  uno 
  almeno 
  dei 
  moduli 
  parziali 
  m,; 
  e 
  poiché 
  supponiamo 
  

   che 
  5JÌ 
  rappresenti 
  la 
  soluzione 
  generale 
  di 
  un 
  sistema 
  di 
  equazioni 
  differenziali 
  (alle 
  

   derivate 
  parziali) 
  avremo 
  certamente 
  che 
  ogni 
  modulo 
  m, 
  ; 
  , 
  il 
  quale 
  non 
  dipenda 
  da 
  

   un 
  numero 
  finito 
  di 
  costanti 
  arbitrarie, 
  conterrà 
  ogni 
  possibile 
  determinazione 
  della 
  

   relativa 
  a, 
  ; 
  cioè 
  questa 
  a, 
  sarà 
  una 
  " 
  funzione 
  arbitraria 
  „ 
  della 
  y 
  ( 
  1 
  ). 
  

  

  E 
  se 
  nei 
  diversi 
  moduli 
  parziali 
  m 
  ; 
  riferiamo 
  fra 
  di 
  loro 
  le 
  determinazioni 
  delle 
  a 
  t 
  - 
  

   che 
  possono 
  essere 
  assunte 
  a 
  componenti 
  di 
  una 
  medesima 
  funzione 
  caratteristica 
  W, 
  

   veniamo 
  a 
  ottenere 
  fra 
  modulo 
  e 
  modulo 
  delle 
  corrispondenze 
  lineari, 
  che 
  possono 
  

   essere 
  anche 
  infinitiformi 
  in 
  quanto 
  facciano 
  corrispondere 
  ad 
  ogni 
  elemento 
  di 
  un 
  

   modulo 
  (o 
  ad 
  ogni 
  coppia, 
  o 
  terna,.... 
  di 
  elementi 
  scelti 
  in 
  noduli 
  diversi) 
  un 
  modulo 
  

   di 
  elementi 
  contenuto 
  in 
  un 
  modulo 
  m,- 
  ; 
  e 
  possono 
  altresì 
  essere 
  completamente 
  indeter- 
  

   minate, 
  quando 
  i 
  moduli 
  m,, 
  fra 
  cui 
  esse 
  intercedono, 
  siano 
  fra 
  loro 
  indipendenti. 
  

  

  La 
  dimensione 
  e 
  la 
  base 
  (o 
  sistema 
  fondamentale) 
  di 
  ciascun 
  modulo 
  m, 
  e 
  le 
  

   eventuali 
  corrispondenze 
  fra 
  modulo 
  e 
  modulo 
  dipendono 
  dalle 
  equazioni 
  di 
  definizione 
  

   del 
  modulo 
  3Dt, 
  le 
  quali 
  sono, 
  come 
  sappiamo, 
  lineari 
  ed 
  omogenee. 
  Ma 
  se 
  teniamo 
  

   conto 
  del 
  fatto 
  che 
  la 
  soluzione 
  generale 
  di 
  codesto 
  sistema 
  di 
  equazioni 
  è 
  della 
  

   forma 
  (1) 
  , 
  vediamo 
  che 
  esso 
  è 
  equivalente 
  a 
  un 
  certo 
  sistema 
  di 
  equazioni 
  differen- 
  

   ziali 
  lineari 
  omogenee 
  fra 
  le 
  dieci 
  funzioni 
  a, 
  della 
  sola 
  variabile 
  y; 
  cioè 
  ad 
  un 
  

   sistema 
  (S) 
  di 
  equazioni 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  (2) 
  • 
  £<#(«,) 
  = 
  0, 
  

  

  dove 
  le 
  F 
  t 
  sono 
  forme 
  differenziali 
  lineari 
  ; 
  sia 
  precisamente 
  

  

  (3) 
  F<rt 
  = 
  ii.. 
  * 
  + 
  e,,- 
  £ 
  + 
  e*, 
  % 
  + 
  - 
  + 
  Ki 
  9? 
  , 
  

  

  dove 
  le 
  f3/j 
  designano 
  funzioni 
  della 
  sola 
  y. 
  

  

  Notiamo 
  subito 
  che 
  il 
  sistema 
  (S) 
  non 
  può 
  contenere 
  nessuna 
  equazione 
  lineare 
  

   omogenea 
  finita 
  (non 
  differenziale); 
  perchè 
  se 
  si 
  avesse 
  una 
  relazione 
  siffatta, 
  essa 
  

  

  (*) 
  Naturalmente 
  questa 
  deduzione 
  non 
  sarebbe 
  in 
  generale 
  lecita 
  se 
  il 
  modulo 
  9K 
  fosse 
  definito 
  

   per 
  mezzo 
  di 
  equazioni 
  funzionali 
  (equazioni 
  differenziali 
  di 
  ordine 
  infinito). 
  

  

  