﻿166 
  UGO 
  AMALDI 
  26 
  

  

  darebbe 
  per 
  y 
  = 
  cost. 
  una 
  relazione 
  lineare 
  fra 
  i 
  coefficienti 
  delle 
  funzioni 
  caratteri- 
  

   stiche 
  del 
  f/ 
  10 
  piano, 
  e 
  quindi 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T 
  non 
  subordinerebbe, 
  contro 
  l'ipotesi, 
  

   su 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  il 
  gruppo 
  finito 
  massimo. 
  

  

  Ora 
  per 
  procedere 
  oltre 
  dobbiamo 
  finalmente 
  tener 
  conto 
  della 
  condizione 
  C), 
  

   cui 
  deve 
  soddisfare 
  il 
  modulo 
  ?0J, 
  condizione 
  per 
  la 
  quale 
  codesto 
  modulo 
  deve 
  con- 
  

   tenere 
  insieme 
  con 
  ogni 
  coppia 
  di 
  funzioni 
  W, 
  Wj^ 
  anche 
  la 
  alternata 
  )W, 
  W 
  x 
  \. 
  Questo 
  

   fatto 
  e 
  il 
  risultato 
  del 
  n. 
  14 
  ci 
  permetteranno 
  di 
  giungere 
  rapidamente 
  al 
  nostro 
  

   risultato, 
  se 
  terremo 
  conto 
  delle 
  seguenti 
  osservazioni 
  relative 
  al 
  sistema 
  (S), 
  le 
  

   quali 
  sono 
  pressoché 
  evidenti 
  a 
  priori, 
  ma 
  che 
  credo 
  conveniente 
  di 
  giustificare 
  

   esplicitamente. 
  

  

  16. 
  — 
  Supponiamo, 
  dunque, 
  che 
  p 
  funzioni 
  a, 
  (»=1, 
  2, 
  3,...,p) 
  di 
  y 
  siano 
  la 
  

   soluzione 
  più 
  generale 
  di 
  un 
  sistema 
  (S) 
  di 
  equazioni 
  differenziali 
  lineari 
  della 
  

   forma 
  

  

  (4) 
  Ì,.F,(a 
  r 
  ) 
  = 
  0: 
  

  

  i 
  

  

  e 
  supponiamo, 
  per 
  semplicità, 
  che 
  il 
  sistema 
  (S) 
  sia 
  già 
  ridotto 
  a 
  tale 
  forma 
  che 
  

   ogni 
  equazione, 
  la 
  quale 
  sia 
  deducibile 
  da 
  esso 
  mediante 
  eliminazioni 
  algebriche 
  e 
  

   derivazioni, 
  si 
  possa 
  ricavare 
  dalle 
  equazioni 
  di 
  (S) 
  con 
  sole 
  eliminazioni 
  algebriche. 
  

  

  A 
  noi 
  importa 
  di 
  vedere 
  quali 
  conseguenze 
  risultino 
  per 
  le 
  funzioni 
  a, 
  dalla 
  

   ipotesi 
  che 
  esistano 
  p 
  moltiplicatori 
  (non 
  nulli) 
  p, 
  (i=l, 
  2,...,p) 
  a 
  due 
  a 
  due 
  disuguali 
  

   e 
  cosiffatti 
  che 
  insieme 
  con 
  ogni 
  soluzione 
  a, 
  (i=l, 
  2,..., 
  p) 
  il 
  sistema 
  (S) 
  ammetta 
  la 
  

   soluzione 
  p, 
  a, 
  (i 
  = 
  1, 
  2, 
  ... 
  , 
  p). 
  

  

  Se 
  i 
  moltiplicatori 
  sono 
  tutti 
  indipendenti 
  da 
  y, 
  insieme 
  con 
  ogni 
  equazione 
  (4) 
  

  

  di 
  (S) 
  sussisteranno 
  anche 
  le: 
  

  

  p 
  

  

  E 
  

  

  i 
  

  

  ErP' 
  r 
  F 
  r 
  (a 
  r 
  ) 
  = 
  (s=l,2, 
  ...); 
  

  

  onde, 
  essendo 
  diverso 
  da 
  zero 
  il 
  determinante: 
  

  

  ;P'r~\ 
  (r, 
  8=1, 
  2, 
  ...,p), 
  

  

  si 
  conclude 
  che, 
  apparterranno 
  al 
  sistema 
  (S) 
  anche 
  tutte 
  le 
  equazioni 
  

  

  /-\(a,.) 
  = 
  (r 
  = 
  l,2,...,p). 
  

  

  Perciò 
  il 
  sistema 
  (S) 
  sarà 
  costituito 
  da 
  sole 
  equazioni 
  differenziali 
  ordinarie 
  

   ad 
  una 
  sola 
  funzione 
  incognita 
  ciascuna 
  : 
  cosicché 
  le 
  singole 
  funzioni 
  a, 
  sono 
  fra 
  

   loro 
  indipendenti, 
  nel 
  senso 
  che 
  ciascuna 
  di 
  esse 
  può 
  assumere 
  ogni 
  determinazione 
  

   di 
  cui 
  è 
  suscettibile, 
  comunque 
  si 
  fissino 
  le 
  determinazioni 
  delle 
  altre 
  a, 
  nei 
  rispettivi 
  

   moduli. 
  

  

  Consideriamo 
  in 
  secondo 
  luogo 
  il 
  caso, 
  in 
  cui 
  i 
  moltiplicatori 
  sono 
  in 
  parte 
  

   costanti 
  e 
  in 
  parte 
  dipendenti 
  da 
  y. 
  Supponiamo, 
  per 
  fissare 
  le 
  idee, 
  che 
  le 
  prime 
  l<p 
  

   funzioni 
  et, 
  ammettano 
  dei 
  moltiplicatori 
  p, 
  dipendenti 
  da 
  y 
  e 
  che 
  le 
  altre 
  m 
  =p 
  — 
  l 
  

   funzioni 
  a,, 
  che 
  indicheremo, 
  per 
  distinguerle 
  dalle 
  prime, 
  con 
  p, 
  (i 
  = 
  1, 
  2,..., 
  m), 
  

   abbiano 
  dei 
  moltiplicatori 
  costanti 
  r, 
  (i 
  = 
  1, 
  2, 
  ... 
  ,m). 
  

  

  