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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  167 
  

  

  Se 
  chiamiamo 
  ordine 
  di 
  un'equazione 
  (4) 
  la 
  somma 
  degli 
  ordini 
  delle 
  forme 
  

   differenziali 
  F 
  ( 
  , 
  avremo 
  che 
  se 
  il 
  sistema 
  (S) 
  contiene 
  delle 
  equazioni, 
  in 
  cui 
  compaia 
  

   almeno 
  una 
  delle 
  funzioni 
  a, 
  a 
  moltiplicatore 
  non 
  costante, 
  fra 
  queste 
  equazioni 
  ve 
  

   ne 
  sarà 
  almeno 
  una 
  di 
  ordine 
  minimo 
  (ordine 
  che, 
  per 
  restare 
  nel 
  caso, 
  che 
  a 
  noi 
  

   importa, 
  del 
  n. 
  prec. 
  , 
  dovremo 
  supporre 
  maggiore 
  di 
  zero). 
  Sia 
  quest'equazione 
  la 
  

  

  (5) 
  É,4,(a,) 
  + 
  £.£.(&) 
  = 
  0, 
  

  

  i 
  i 
  

  

  dove 
  le 
  A 
  s 
  , 
  B 
  s 
  indicano 
  forme 
  differenziali 
  lineari; 
  noi, 
  per 
  fissare 
  le 
  idee, 
  suppor- 
  

   remo 
  che 
  almeno 
  la 
  A 
  x 
  non 
  sia 
  identicamente 
  nulla. 
  

  

  Insieme 
  con 
  la 
  (5) 
  dovrà 
  sussistere 
  in 
  virtù 
  del 
  sistema 
  (S) 
  anche 
  la: 
  

  

  (6) 
  S 
  5 
  ^ 
  ! 
  (p 
  s 
  a 
  s 
  ) 
  + 
  S 
  s 
  r 
  s 
  J5 
  s 
  (0 
  s 
  ) 
  = 
  O. 
  

  

  Ma 
  se 
  indichiamo 
  con 
  apici 
  le 
  derivate 
  funzionali 
  (del 
  Pincherle) 
  delle 
  forme 
  

   differenziali 
  lineari, 
  cioè 
  se 
  poniamo: 
  

  

  A 
  s 
  {a 
  s 
  ) 
  = 
  T 
  s 
  . 
  a 
  s 
  + 
  T 
  ..i 
  ~- 
  + 
  . 
  . 
  . 
  + 
  T..».^£ 
  > 
  

  

  , 
  ^'(iJ=T..i<y+2T...-fr 
  + 
  -• 
  + 
  "•T'.-.^r 
  > 
  

  

  A 
  s 
  "(a 
  s 
  ) 
  = 
  2 
  Ts 
  . 
  8 
  « 
  s 
  + 
  3.2 
  T 
  ,,-^- 
  + 
  - 
  + 
  "^-l)T*-»^j 
  , 
  

  

  la 
  (6), 
  per 
  una 
  nota 
  formola 
  del 
  D'Alembert 
  ( 
  l 
  ), 
  si 
  può 
  scrivere: 
  

  

  l 
  n 
  a 
  m 
  

  

  (8) 
  S 
  S 
  S,.P< 
  U 
  U"" 
  (a,) 
  + 
  S 
  s 
  r 
  s 
  B,(P.) 
  = 
  0, 
  

  

  1 
  1 
  

  

  cosicché 
  appare 
  intanto 
  manifesto 
  che 
  la 
  (6) 
  = 
  (8) 
  è 
  dello 
  stesso 
  ordine 
  della 
  (5). 
  

   Ma 
  se 
  dalla 
  (8) 
  sottragghiamo 
  la 
  (5) 
  moltiplicata 
  per 
  p 
  1( 
  otteniamo 
  la 
  

  

  (9) 
  E.(p,-PiM(a.) 
  + 
  E.E.pW 
  4> 
  s 
  ) 
  + 
  £ 
  s 
  (r 
  s 
  - 
  Pi)B.(P.) 
  = 
  0, 
  

  

  2 
  11 
  1 
  

  

  la 
  quale 
  contiene 
  ancora 
  la 
  a 
  t 
  perchè 
  è 
  per 
  ipotesi 
  p 
  t 
  ' 
  =t= 
  , 
  e 
  di 
  più 
  è 
  di 
  ordine 
  

   inferiore 
  (di 
  un'unità 
  almeno) 
  dell'ordine 
  della 
  (5). 
  Essa 
  dovrà 
  quindi 
  essere, 
  riguardo 
  

   alle 
  dj, 
  una 
  identità; 
  cioè 
  saranno 
  in 
  essa 
  identicamente 
  nulli 
  i 
  singoli 
  coefficienti 
  

   delle 
  varie 
  derivate 
  di 
  ogni 
  a 
  t 
  ( 
  2 
  ). 
  Di 
  qui, 
  ove 
  si 
  tenga 
  conto 
  delle 
  (7), 
  risulta 
  anzi- 
  

   tutto 
  che 
  le 
  forme 
  : 
  

  

  A 
  2 
  , 
  A 
  3 
  ,..., 
  Ai, 
  

  

  (') 
  Cfr. 
  p. 
  es. 
  Pincherle- 
  Amaldi, 
  Le 
  operazioni 
  distributiz'e 
  ecc., 
  Bologna, 
  1901, 
  pag. 
  107. 
  

   ( 
  2 
  ) 
  Non 
  si 
  può 
  escludere, 
  quanto 
  alle 
  P;, 
  che 
  la 
  terza 
  sommatoria 
  della 
  (9) 
  si 
  annulli 
  in 
  virtù 
  

   delle 
  equazioni 
  di 
  (8) 
  che 
  portano 
  sulle 
  sole 
  fa. 
  

  

  