﻿172 
  UGO 
  AMALDI 
  32 
  

  

  in 
  sostanza 
  dal 
  fatto 
  che 
  il 
  gruppo 
  piano 
  g 
  10 
  è 
  semplice, 
  cioè 
  non 
  ammette 
  nessun 
  

   sottogruppo 
  invariante 
  ( 
  1 
  ). 
  

  

  Esclusa 
  dunque 
  la 
  possibilità 
  che 
  una 
  delle 
  a 
  s 
  (s$5, 
  7) 
  sia 
  arbitraria, 
  se 
  vogliamo 
  

   che 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T 
  sia 
  infinito 
  dovremo 
  ammettere 
  che 
  una 
  almeno 
  delle 
  due 
  

   funzioni 
  a 
  5 
  , 
  a 
  7 
  sia 
  arbitraria. 
  Se 
  è 
  arbitraria 
  la 
  funzione 
  a 
  7 
  , 
  prendiamo 
  una 
  funzione 
  

   caratteristica 
  in 
  cui 
  il 
  coefficiente 
  di 
  xp 
  — 
  2z 
  sia 
  dato 
  da 
  una 
  qualsiasi 
  funzione 
  {3, 
  

   non 
  identicamente 
  nulla: 
  se 
  

  

  W=fo 
  + 
  fac 
  + 
  p 
  3 
  ? 
  + 
  M 
  2 
  + 
  hxp 
  + 
  8 
  s 
  p 
  2 
  + 
  P 
  7 
  {xp 
  — 
  2z) 
  + 
  ? 
  s 
  x(xp 
  - 
  2z) 
  + 
  

   + 
  fop(xp 
  — 
  2z) 
  + 
  ? 
  10 
  {xp 
  — 
  2z) 
  2 
  

  

  è 
  l'indicata 
  funzione, 
  ricaviamo 
  dalla: 
  

  

  l'ai, 
  W[ 
  = 
  2CCA 
  -f- 
  2a 
  1 
  8 
  8 
  a! 
  -f 
  anfop 
  + 
  4«Ao* 
  a 
  

  

  che, 
  contrariamente 
  a 
  quanto 
  vedemmo 
  sopra, 
  i 
  coefficienti 
  di 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  sono, 
  per 
  

   a 
  5 
  = 
  a 
  7 
  = 
  0, 
  arbitrari 
  : 
  onde 
  risulta 
  che 
  nemmeno 
  a 
  7 
  può 
  essere 
  arbitraria. 
  Sarà 
  tale, 
  

   allora, 
  la 
  a 
  5 
  , 
  che 
  perciò 
  non 
  potrà 
  essere 
  legata 
  da 
  alcuna 
  relazione 
  alla 
  a 
  7 
  . 
  Ma 
  

   allora 
  combinando 
  la 
  q>(y)xp, 
  dove 
  la 
  <p 
  è 
  una 
  qualsiasi 
  funzione 
  di 
  y, 
  con 
  le 
  altre 
  

   funzioni 
  caratteristiche 
  del 
  gruppo 
  I 
  1 
  , 
  concludiamo 
  ancora 
  una 
  volta 
  che 
  questo 
  (se 
  

   non 
  è 
  finito) 
  coincide 
  col 
  gruppo 
  [lj. 
  

  

  Siamo 
  così 
  giunti 
  al 
  termine 
  della 
  nostra 
  discussione 
  e 
  concludiamo 
  che 
  il 
  solo 
  

   gruppo 
  contìnuo 
  infinito 
  dì 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio, 
  che 
  trasformi 
  in 
  sé 
  

   ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  e 
  subordini 
  su 
  ciascuno 
  di 
  codesti 
  piani 
  il 
  gruppo 
  piano 
  finito 
  

   irreducibile 
  g 
  10 
  è 
  il 
  gruppo 
  [1]. 
  

  

  Non 
  sarà 
  inutile 
  ricordare 
  qui 
  come 
  lo 
  Scheifers 
  abbia 
  dimostrato 
  che 
  anche 
  

   fra 
  i 
  gruppi 
  finiti 
  vi 
  è 
  un 
  solo 
  tipo 
  di 
  gruppi 
  della 
  specie 
  qui 
  indicata 
  e 
  che 
  codesto 
  

   tipo 
  è 
  rappresentato 
  dal 
  gruppo 
  

  

  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  2z, 
  x(xp 
  — 
  2z), 
  p(xp 
  — 
  2z), 
  (xp 
  — 
  2z) 
  2 
  . 
  

  

  VII. 
  Gruppi 
  della 
  prima 
  categoria 
  

   che 
  subordinano 
  su 
  ogni 
  piano 
  invariante 
  un 
  gruppo 
  co 
  7 
  © 
  oo«. 
  

  

  22. 
  — 
  Vogliamo 
  qui 
  determinare 
  i 
  gruppi 
  infiniti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  

   dello 
  spazio 
  che 
  trasformano 
  in 
  se 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  e 
  subordinano 
  su 
  di 
  esso 
  

   il 
  gruppo 
  g 
  1 
  avente 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  

  

  1, 
  *, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  2z. 
  

  

  Il 
  gruppo 
  più 
  ampio" 
  di 
  questa 
  categoria 
  è 
  il 
  gruppo 
  [2] 
  di 
  cui 
  determinammo 
  

   al 
  n. 
  9 
  le 
  equazioni 
  finite: 
  

  

  [2] 
  

  

  «Pi, 
  <P 
  2 
  a:, 
  cp 
  3 
  2A 
  q>4£ 
  2 
  , 
  Vsxp, 
  q> 
  s 
  p 
  2 
  , 
  q> 
  7 
  (xp 
  — 
  2z) 
  

   qp 
  < 
  = 
  funz. 
  arbit. 
  di 
  y 
  (i=l, 
  ..., 
  7) 
  

  

  (') 
  Lie-Engel, 
  Theorie 
  der 
  Transformationsgruppen, 
  Bd. 
  II, 
  pag. 
  437. 
  

  

  