﻿33 
  GRUPFI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  173 
  

  

  Ora 
  si 
  tratta 
  in 
  sostanza 
  di 
  determinarne 
  i 
  sottogruppi 
  infiniti, 
  che 
  operano 
  

   in 
  ciascun 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  come 
  il 
  gruppo 
  totale 
  stesso. 
  Sia 
  T 
  un 
  cosiffatto 
  sotto- 
  

   gruppo 
  di 
  [2]. 
  Se 
  è 
  r 
  il 
  gruppo 
  di 
  trasformazioni 
  puntuali 
  di 
  S 
  6 
  , 
  corrispondente 
  a 
  T, 
  

   avremo 
  che 
  il 
  gruppo 
  T, 
  accorciato 
  di 
  l~, 
  subordina 
  in 
  ogni 
  S 
  3 
  x± 
  = 
  cost. 
  , 
  a? 
  5 
  = 
  

   il 
  gruppo 
  oo 
  7 
  delle 
  affinità 
  che 
  trasformano 
  in 
  se 
  il 
  solito 
  complesso 
  lineare. 
  Allora 
  

   le 
  stesse 
  considerazioni 
  dei 
  nn. 
  12, 
  13 
  ci 
  permettono 
  di 
  affermare 
  che 
  il 
  modulo 
  

   caratteristico 
  del 
  gruppo 
  T, 
  o 
  di 
  un 
  altro 
  sottogruppo 
  di 
  [2] 
  equivalente 
  a 
  T 
  dentro 
  

   lo 
  stesso 
  gruppo 
  [2], 
  contiene 
  certamente 
  delle 
  funzioni 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  w 
  = 
  a 
  («/) 
  xp 
  + 
  p 
  (tj) 
  (xp 
  — 
  2z) 
  

   dove 
  

  

  a#=0, 
  P=4=0, 
  a 
  — 
  0=1=0, 
  a-fpH=0. 
  

  

  Possiamo 
  quindi 
  ripetere 
  il 
  procedimento 
  seguito 
  nel 
  cap. 
  prec. 
  per 
  il 
  gruppo 
  [1]. 
  

   Presa 
  una 
  funzione 
  caratteristica 
  generica 
  di 
  T 
  

  

  w 
  = 
  a 
  x 
  -f- 
  a. 
  2 
  x 
  -\- 
  a 
  s 
  p 
  -\- 
  a 
  4 
  x 
  2 
  -f 
  a 
  5 
  xp 
  -f- 
  «e 
  V 
  2 
  + 
  a 
  7 
  («P 
  — 
  2s 
  ) 
  > 
  

  

  dove 
  potremo 
  supporre 
  che 
  nessuna 
  delle 
  a 
  s 
  sia 
  nulla, 
  avremo 
  che 
  al 
  gruppo 
  T 
  appar- 
  

   tiene 
  anche 
  la 
  funzione 
  caratteristica 
  

  

  ) 
  W,w 
  ! 
  = 
  2^! 
  + 
  (P 
  — 
  o)a 
  2 
  x 
  -f 
  (P 
  + 
  a)p 
  — 
  2aa 
  4 
  aj 
  3 
  + 
  2aa 
  6 
  p 
  2 
  . 
  

  

  Di 
  qui 
  concludiamo 
  che 
  i 
  coefficienti 
  a 
  5 
  , 
  a 
  7 
  di 
  xp 
  e 
  xp 
  — 
  2-z 
  sono 
  suscettibili 
  

   simultaneamente 
  della 
  determinazione 
  zero, 
  senza 
  che 
  ciò 
  implichi 
  l'annullamento 
  

   di 
  alcun'altra 
  delle 
  a 
  s 
  . 
  

  

  Di 
  più 
  per 
  ot 
  5 
  = 
  a 
  7 
  = 
  le 
  funzioni 
  a 
  u 
  a 
  2 
  , 
  a 
  8 
  , 
  a 
  4 
  , 
  a 
  6 
  ammettono 
  rispettivamente 
  

   i 
  moltiplicatori, 
  fra 
  loro 
  disuguali 
  e 
  tutti 
  diversi 
  da 
  zero 
  

  

  2p, 
  p 
  — 
  a, 
  p 
  + 
  a, 
  — 
  2a, 
  2a. 
  

  

  Di 
  qui 
  intanto 
  si 
  conclude 
  che 
  per 
  ot 
  6 
  = 
  a 
  7 
  = 
  le 
  funzioni 
  a 
  lt 
  a 
  2 
  , 
  a 
  3 
  , 
  ot 
  4 
  , 
  a 
  s 
  sono 
  

   in 
  ogni 
  caso 
  fra 
  loro 
  indipendenti 
  nel 
  senso 
  detto 
  al 
  n. 
  15. 
  

   Se 
  poi 
  nessuna 
  delle 
  espressioni 
  

  

  (1) 
  a, 
  p, 
  a 
  + 
  p, 
  a 
  — 
  P 
  

  

  è 
  costante, 
  concludiamo 
  che 
  le 
  a 
  u 
  a 
  2 
  , 
  a 
  3 
  , 
  a 
  4 
  , 
  a 
  s 
  sono, 
  per 
  ct 
  5 
  =a 
  7 
  = 
  0, 
  arbitrarie; 
  e 
  

   allora 
  dalla 
  

  

  )a 
  é 
  x 
  2 
  , 
  a 
  6 
  p 
  2 
  [=^-—4a 
  i 
  a 
  6 
  xp 
  

  

  risulta 
  che 
  tale 
  è 
  altresì 
  la 
  a 
  5 
  . 
  

  

  Quanto 
  al 
  coefficiente 
  a 
  7 
  di 
  xp 
  — 
  2z, 
  le 
  alternate 
  delle 
  altre 
  funzioni 
  caratte- 
  

   ristiche 
  del 
  gruppo 
  nulla 
  ci 
  possono 
  dire, 
  giacche 
  (cfr. 
  la 
  tabella 
  del 
  n. 
  20) 
  nel 
  g 
  7 
  

   piano 
  il 
  g 
  6 
  

  

  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  ,. 
  xp, 
  p 
  2 
  

  

  