﻿35 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  175 
  

  

  deduciamo 
  che 
  sono 
  arbitrari 
  anche 
  i 
  coefficienti 
  c^, 
  a 
  5 
  di 
  1 
  e 
  xp; 
  cosicché 
  riotte- 
  

   niamo 
  i 
  gruppi 
  del 
  n. 
  21. 
  

  

  b) 
  Allo 
  stesso 
  risultato 
  si 
  giunge 
  se 
  la 
  sola 
  a 
  — 
  p 
  è 
  costante, 
  giacche 
  in 
  questo 
  

   caso 
  hanno 
  moltiplicatori 
  non 
  costanti, 
  e 
  perciò 
  sono 
  arbitrarie 
  le 
  a 
  u 
  a 
  3 
  , 
  ct 
  4 
  , 
  a 
  c 
  : 
  

   donde, 
  tenendo 
  conto 
  delle 
  

  

  )a 
  s 
  p, 
  a 
  4 
  z 
  3 
  j 
  = 
  2a 
  3 
  a 
  4 
  a;, 
  Ja 
  4 
  z 
  2 
  , 
  a 
  6 
  p 
  2 
  j 
  = 
  — 
  4a 
  4 
  a 
  6 
  a^, 
  

  

  deduciamo 
  l'arbitrarietà 
  anche 
  di 
  a 
  2 
  e 
  a 
  5 
  . 
  

  

  e) 
  Sia, 
  in 
  terzo 
  luogo, 
  costante 
  la 
  sola 
  a. 
  

  

  Allora 
  le 
  o^, 
  a 
  2 
  , 
  a 
  3 
  sono 
  senz'altro 
  arbitrarie, 
  mentre 
  le 
  a 
  4 
  , 
  a 
  6 
  possono 
  anche 
  ammet- 
  

   tere 
  ciascuna 
  soltanto 
  uà 
  numero 
  finito 
  di 
  determinazioni 
  linearmente 
  indipendenti. 
  

  

  Basterà 
  precisamente 
  che 
  esaminiamo 
  questo 
  caso, 
  giacche 
  se 
  una 
  almeno 
  delle 
  

   ot 
  4 
  , 
  a 
  G 
  è 
  arbitraria 
  ritorniamo 
  ai 
  gruppi 
  già 
  dianzi 
  determinati. 
  

  

  Ora 
  dalle 
  

  

  (2) 
  (ct 
  4 
  a; 
  2 
  , 
  a 
  6 
  p 
  2 
  [ 
  = 
  — 
  ia 
  A 
  p. 
  i 
  xp, 
  )a±x 
  2 
  , 
  a^xpi 
  = 
  — 
  2a\a 
  e 
  xp, 
  

  

  \a 
  6 
  f, 
  a 
  é 
  a 
  e 
  xp[ 
  — 
  2a 
  4 
  <p 
  8 
  , 
  . 
  . 
  . 
  

  

  ricaviamo 
  che, 
  poiché 
  abbiamo 
  escluso 
  l'arbitrarietà 
  dei 
  coefficienti 
  ct 
  4 
  , 
  a 
  6 
  di 
  x 
  2 
  , 
  p 
  2 
  , 
  

   codeste 
  due 
  funzioni, 
  per 
  a 
  5 
  = 
  ct 
  7 
  = 
  0, 
  non 
  possono 
  ammettere 
  altra 
  determinazione 
  

   all'infuori 
  dell'unità 
  : 
  onde 
  risulta, 
  in 
  particolare, 
  che 
  fa 
  parte 
  del 
  modulo 
  del 
  gruppo 
  

  

  la 
  funzione 
  xp 
  = 
  r 
  ì^ 
  2 
  , 
  _p 
  2 
  |. 
  

  

  Si 
  consideri 
  allora 
  una 
  qualsiasi 
  funzione 
  del 
  gruppo 
  contenente 
  xp 
  e 
  xp 
  — 
  2z, 
  

   per 
  es. 
  la 
  

  

  TPi 
  = 
  p 
  4 
  s» 
  + 
  %xp 
  + 
  hp 
  l 
  + 
  M** 
  - 
  2z) 
  (*). 
  

  

  Poiché 
  nella 
  

  

  mancano 
  i 
  termini 
  in 
  xp, 
  xp 
  — 
  2z, 
  concludiamo 
  che 
  deve 
  essere 
  4 
  = 
  cost., 
  p 
  6 
  = 
  cost., 
  

   cosicché 
  la 
  W± 
  si 
  può 
  ridurre 
  alla 
  forma 
  : 
  

  

  $ 
  6 
  xp-\- 
  fa(zp 
  — 
  2z): 
  

   e 
  allora 
  la 
  

  

  ) 
  x 
  2 
  , 
  $ 
  6 
  xp 
  + 
  p 
  7 
  (xp 
  — 
  20) 
  j 
  = 
  — 
  2%x 
  2 
  

  

  ci 
  mostra 
  che 
  è 
  necessariamente 
  P 
  5 
  = 
  cost., 
  cosicché 
  riassumendo, 
  abbiamo 
  che 
  i 
  

   coefficienti 
  a 
  1} 
  a 
  2 
  , 
  a 
  3 
  sono 
  arbitrari, 
  mentre 
  ct 
  4 
  , 
  a 
  5 
  , 
  a 
  6 
  non 
  ammettono 
  altra 
  determina- 
  

   zione 
  all'infuori 
  della 
  costante. 
  Resta 
  il 
  coefficiente 
  a, 
  di 
  xp 
  — 
  2z, 
  al 
  quale, 
  formando 
  

   le 
  alternate 
  delle 
  altre 
  funzioni 
  non 
  si 
  viene 
  ad 
  imporre 
  nessuna 
  condizione. 
  Sono 
  

   quindi 
  ammissibili 
  per 
  a 
  7 
  le 
  solite 
  due 
  ipotesi; 
  cosicché 
  otteniamo 
  i 
  due 
  gruppi 
  

  

  (') 
  Data 
  l'arbitrarietà 
  di 
  a,, 
  a. 
  2l 
  a 
  3 
  è 
  qui 
  inutile 
  scrivere 
  i 
  termini 
  lineari 
  in 
  x, 
  p. 
  

  

  