﻿178 
  UGO 
  AMALDI 
  38 
  

  

  di 
  [7] 
  si 
  può 
  sempre 
  ridurre, 
  mediante 
  una 
  trasformazione 
  del 
  gruppo 
  [2], 
  ad 
  una 
  

   delle 
  forme 
  : 
  

  

  (3) 
  3 
  + 
  axp, 
  ap 
  + 
  $x 
  2 
  , 
  a 
  + 
  $x 
  2 
  (*), 
  ax, 
  a, 
  

  

  dove 
  a, 
  3 
  sono 
  funzioni 
  di 
  y. 
  

  

  Siccome 
  il 
  gruppo 
  [7] 
  è 
  un 
  sottogruppo 
  invariante 
  di 
  [2] 
  , 
  avremo 
  che 
  presa 
  

   una 
  funzione 
  caratteristica 
  qualsiasi 
  W 
  in 
  un 
  sottogruppo 
  di 
  [ 
  7] 
  , 
  si 
  potrà 
  trasfor- 
  

   mare 
  codesto 
  sottogruppo, 
  mediante 
  una 
  trasformazione 
  di 
  [2], 
  in 
  un 
  altro 
  sottogruppo 
  

   del 
  medesimo 
  gruppo 
  [7] 
  tale 
  che 
  in 
  esso 
  la 
  funzione 
  caratteristica 
  corrispondente 
  

   alla 
  W 
  abbia 
  precisamente 
  una 
  delle 
  forme 
  suindicate. 
  

  

  Ma 
  se 
  di 
  più 
  teniamo 
  conto 
  delle 
  proprietà 
  geometriche 
  dei 
  gruppi 
  proiettivi 
  

   di 
  S 
  s 
  che 
  corrispondono 
  rispettivamente 
  ai 
  gruppi 
  oo 
  1 
  generati 
  dalle 
  varie 
  funzioni 
  (3), 
  

   concludiamo 
  agevolmente, 
  in 
  base 
  a 
  considerazioni 
  del 
  tutto 
  analoghe 
  a 
  quelle 
  del 
  

   n. 
  14, 
  che 
  in 
  ogni 
  tipo 
  di 
  sottogruppi 
  di 
  [7], 
  che 
  subordinino 
  su 
  ciascun 
  piano 
  il 
  gruppo 
  

   piano 
  irreducibile 
  oo 
  6 
  , 
  esistono 
  certamente 
  dei 
  gruppi, 
  che 
  fra 
  le 
  loro 
  funzioni 
  caratte- 
  

   ristiche 
  contengono 
  funzioni 
  della 
  forma: 
  

  

  (4) 
  w 
  = 
  P 
  -f 
  ax 
  P< 
  

  

  dove 
  

  

  a 
  4=0, 
  {5 
  4=0. 
  

  

  Considerato 
  allora 
  un 
  sottogruppo 
  T 
  di 
  [7] 
  contenente 
  una 
  funzione 
  della 
  forma 
  (4), 
  

   e 
  presa 
  una 
  qualsiasi 
  altra 
  sua 
  funzione 
  caratteristica 
  

  

  W— 
  a 
  x 
  + 
  a,x 
  4- 
  a 
  s 
  p 
  -4- 
  °4* 
  2 
  + 
  <V"P 
  + 
  a 
  6 
  p 
  2 
  , 
  

   avremo 
  che 
  anche 
  la 
  

  

  )W, 
  u> 
  j 
  = 
  — 
  aa 
  2 
  a; 
  -\- 
  aa 
  3 
  p 
  — 
  2aa 
  4 
  a; 
  2 
  -4- 
  2aa 
  6 
  p 
  2 
  

  

  appartiene 
  a 
  T. 
  

  

  Risulta 
  di 
  qui 
  che 
  i 
  coefficienti 
  o 
  lf 
  a 
  5 
  di 
  1 
  e 
  xp 
  sono 
  suscettibili 
  della 
  determi- 
  

   nazione 
  zero, 
  e 
  che 
  per 
  a!=:a 
  5 
  = 
  0, 
  gli 
  altri 
  coefficienti 
  a 
  2 
  , 
  a 
  s 
  , 
  o 
  4l 
  a 
  6 
  (che 
  ammettono 
  

   rispettivamente 
  i 
  quattro 
  moltiplicatori 
  

  

  — 
  a, 
  a, 
  — 
  2a, 
  2a 
  

  

  diversi 
  da 
  zero 
  e 
  a 
  due 
  a 
  due 
  disuguali) 
  sono 
  indipendenti. 
  

  

  Ma 
  per 
  procedere 
  oltre 
  convien 
  distinguere 
  il 
  caso 
  in 
  cui 
  a 
  è 
  costante 
  da 
  quello 
  

   in 
  cui 
  a 
  dipende 
  da 
  y. 
  

  

  In 
  quest'ultimo 
  caso 
  si 
  ha 
  senz'altro 
  che 
  le 
  a 
  2 
  , 
  a 
  3 
  , 
  a 
  4 
  , 
  ct 
  6 
  sono 
  arbitrarie 
  ; 
  e, 
  

   tenuto 
  conto 
  delle 
  

  

  ! 
  «2 
  x, 
  a 
  3 
  p[= 
  — 
  a 
  2 
  a 
  3 
  , 
  ) 
  a 
  4 
  a; 
  2 
  , 
  a 
  6 
  p 
  2 
  j 
  = 
  — 
  4 
  a 
  A 
  a 
  6 
  xp, 
  

   si 
  conclude 
  anche 
  l'arbitrarietà 
  dei 
  coefficienti 
  di 
  1 
  e 
  di 
  xp, 
  onde 
  risulta 
  il 
  gruppo 
  [7]. 
  

  

  ^ 
  (') 
  Si 
  ricordi 
  che 
  al 
  u. 
  13 
  per 
  dimostrare 
  che 
  la 
  a 
  + 
  frr* 
  è 
  trasformabile 
  nella 
  ax 
  o 
  nella 
  a, 
  ci 
  

  

  siamo 
  serviti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  appartenenti 
  al 
  gruppo 
  [1] 
  ma 
  non 
  al 
  gruppo 
  [2]. 
  

  

  A 
  

  

  