﻿39 
  

  

  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  

  

  179 
  

  

  Sia 
  in 
  secondo 
  luogo 
  a 
  = 
  cost. 
  Poiché 
  in 
  questo 
  caso 
  null'altro 
  si 
  sa 
  a 
  priori 
  

   all'infuori 
  della 
  indipendenza 
  di 
  a 
  2 
  , 
  ct 
  3 
  , 
  ot 
  4 
  , 
  a 
  6 
  per 
  a 
  1 
  — 
  a 
  6 
  = 
  0, 
  bisogna 
  esaminare 
  le 
  

   varie 
  ipotesi 
  possibili. 
  Se 
  si 
  suppone 
  arbitrario 
  il 
  coefficiente 
  a 
  6 
  di 
  p 
  2 
  o 
  il 
  coeffi- 
  

   ciente 
  a 
  4 
  di 
  x 
  2 
  , 
  se 
  ne 
  deduce 
  l'arbitrarietà 
  delle 
  altre 
  funzioni 
  a 
  s 
  . 
  

  

  D'altra 
  parte 
  dalle 
  (2) 
  del 
  n. 
  24 
  ricaviamo 
  che 
  se 
  le 
  funzioni 
  a 
  4 
  , 
  a 
  6 
  non 
  sono 
  

   arbitrarie, 
  non 
  possono 
  ammettere, 
  per 
  a 
  x 
  = 
  a 
  5 
  = 
  0, 
  altra 
  determinazione 
  all'infuori 
  

   dell'unità. 
  In 
  tal 
  caso 
  si 
  avrà 
  nel 
  gruppo 
  anche 
  la 
  funzione 
  xp. 
  

  

  Supponiamo 
  allora 
  che 
  sia 
  arbitraria 
  la 
  ct 
  3 
  oppure 
  la 
  a 
  2 
  . 
  Se 
  ne 
  ricava 
  immediata- 
  

   mente 
  l'arbitrarietà 
  di 
  a 
  1 
  e 
  si 
  ottiene 
  il 
  gruppo 
  

  

  [8] 
  

  

  «Pi, 
  92*, 
  <?&, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  

  

  qpf 
  = 
  funz. 
  arbit. 
  di 
  y 
  

  

  (*•=!, 
  2, 
  3) 
  

  

  Se 
  invece 
  si 
  ammette 
  che 
  i 
  coefficienti 
  di 
  x 
  e 
  p 
  siano 
  ciascuno 
  variabile 
  in 
  

   un 
  modulo 
  finito, 
  si 
  dimostra 
  che 
  questi 
  due 
  moduli 
  debbono 
  essere 
  identici 
  ; 
  e 
  poiché 
  

   l'ipotesi 
  che 
  il 
  coefficiente 
  a 
  x 
  di 
  1 
  ammetta 
  solo 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  determinazioni 
  

   linearmente 
  indipendenti 
  conduce 
  ad 
  un 
  gruppo 
  finito, 
  si 
  conclude 
  che 
  l'ultimo 
  tipo 
  

   di 
  gruppi 
  della 
  specie 
  qui 
  considerata 
  è 
  

  

  [9] 
  

  

  q>, 
  OiX, 
  a 
  f 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  

  

  (» 
  = 
  1, 
  2, 
  ..., 
  h) 
  

  

  cp 
  = 
  funz. 
  arb. 
  di 
  y 
  

  

  di 
  = 
  funz. 
  det. 
  di 
  y 
  

  

  Vili. 
  Gruppi 
  della 
  prima 
  categoria 
  

   che 
  su 
  ciascun 
  piano 
  invariante 
  subordinano 
  un 
  gruppo 
  infinito. 
  

  

  26. 
  — 
  Determinati 
  nei 
  capitoli 
  precedenti 
  i 
  gruppi 
  della 
  prima 
  categoria 
  che 
  

   su 
  ciascun 
  piano 
  invariante 
  subordinano 
  un 
  gruppo 
  finito, 
  occupiamoci 
  ora 
  di 
  quelli 
  

   che 
  subordinano 
  invece, 
  su 
  ogni 
  piano 
  y 
  == 
  cost., 
  un 
  gruppo 
  infinito. 
  

  

  Corrispondentemente 
  ai 
  tre 
  tipi 
  di 
  gruppi 
  infiniti 
  irreducibili 
  di 
  trasformazioni 
  

   di 
  contatto 
  piane 
  (n. 
  6), 
  divideremo 
  la 
  nostra 
  ricerca 
  in 
  tre 
  parti; 
  e 
  cominceremo 
  

   dai 
  gruppi 
  che 
  per 
  y 
  = 
  cost. 
  danno 
  il 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  

   del 
  piano, 
  cioè 
  il 
  gruppo 
  piano, 
  il 
  cui 
  modulo 
  caratteristico 
  è 
  dato 
  dall'insieme 
  di 
  

   tutte 
  le 
  funzioni 
  

  

  q>(x, 
  z, 
  p) 
  

   di 
  x, 
  z 
  e 
  p. 
  

  

  