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  UGO 
  AMALDI 
  40 
  

  

  Il 
  più 
  ampio 
  di 
  siffatti 
  gruppi 
  è 
  evidentemente 
  il 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasforma- 
  

   zioni 
  di 
  contatto 
  che 
  lascian 
  fermo 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  cost., 
  

  

  [IO] 
  

  

  <p0»> 
  y, 
  z. 
  p) 
  

  

  q> 
  = 
  funz. 
  arbit. 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p 
  

  

  e 
  noi 
  dobbiamo 
  qui 
  determinarne 
  i 
  sottogruppi, 
  che 
  operano 
  su 
  ciascun 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  

   come 
  il 
  gruppo 
  totale 
  stesso. 
  

  

  Indicando 
  con 
  T 
  uno 
  di 
  codesti 
  sottogruppi, 
  fissiamo 
  un 
  piano 
  invariante 
  generico 
  

   y 
  = 
  y° 
  e 
  consideriamo 
  in 
  esso 
  il 
  solito 
  sistema 
  lineare 
  di 
  parabole 
  

  

  (1) 
  z 
  = 
  a 
  t 
  x* 
  + 
  2a 
  2 
  a; 
  + 
  a 
  3 
  , 
  y 
  = 
  f, 
  

  

  e 
  il 
  rispettivo 
  gruppo 
  g 
  l0 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  piane. 
  

  

  L'insieme 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  T 
  che 
  trasformano 
  in 
  se 
  le 
  parabole 
  (1) 
  costi- 
  

   tuiscono 
  manifestamente 
  un 
  sottogruppo 
  T 
  di 
  T, 
  che 
  subordinando 
  sul 
  piano 
  y 
  = 
  y° 
  

   l'intero 
  <7 
  10 
  , 
  è 
  irreducibile. 
  Sul 
  piano 
  </ 
  = 
  >/', 
  infinitamente 
  vicino 
  a 
  y=y°, 
  il 
  gruppo 
  r° 
  

   subordinerà 
  un 
  gruppo 
  piano 
  irreducibile, 
  il 
  quale 
  naturalmente 
  può 
  essere 
  o 
  infinito 
  

   o 
  finito; 
  ma 
  in 
  quest'ultimo 
  caso 
  sarà 
  almeno 
  oo 
  10 
  , 
  e 
  poiché, 
  come 
  ha 
  dimostrato 
  

   il 
  Lie, 
  il 
  solo 
  tipo 
  di 
  gruppi 
  finiti 
  piani 
  irreducibili 
  oo 
  10 
  è 
  quello 
  del 
  g 
  10 
  delle 
  solite 
  

   parabole, 
  avremo 
  che 
  T° 
  subordinerà 
  sul 
  piano 
  «/ 
  = 
  «/' 
  un 
  gruppo 
  g' 
  10 
  , 
  appartenente 
  

   al 
  tipo 
  del 
  g 
  10 
  e 
  perciò 
  trasformabile 
  in 
  questo 
  mediante 
  una 
  certa 
  trasformazione 
  

   di 
  contatto 
  piana. 
  

  

  Se 
  poi 
  r° 
  è 
  infinito, 
  esso, 
  dovendo 
  essere 
  irreducibile 
  e 
  d'altra 
  parte 
  dovendo 
  

   contenere 
  delle 
  funzioni 
  caratteristiche 
  di 
  grado 
  superiore 
  al 
  primo 
  rispetto 
  a 
  z 
  

   (giacche 
  in 
  caso 
  contrario 
  subordinerebbe 
  sul 
  piano 
  y 
  = 
  y° 
  il 
  g-i 
  o 
  il 
  g 
  6 
  , 
  anziché 
  

   il 
  f/io). 
  subordinerà 
  ancora 
  sul 
  piano 
  y 
  = 
  y' 
  il 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  

   di 
  contatto 
  piane; 
  cosicché 
  si 
  potranno 
  ripetere 
  su 
  r 
  o 
  le 
  considerazioni 
  precedenti, 
  

   fissando 
  sul 
  piano 
  y 
  = 
  y' 
  le 
  parabole 
  

  

  z 
  = 
  a 
  l 
  x 
  ì 
  -\- 
  2a 
  2 
  x 
  -j- 
  a 
  2 
  , 
  y 
  = 
  ;/'■ 
  

  

  Vediamo 
  cosi 
  che 
  fissando 
  questo 
  sistema 
  di 
  parabole 
  o 
  su 
  di 
  un 
  certo 
  numero 
  

   finito 
  di 
  piani 
  successivi 
  od, 
  occorrendo, 
  su 
  tutti 
  i 
  piani 
  y 
  — 
  cost. 
  di 
  un 
  certo 
  strato 
  

   o 
  dell'intero 
  spazio, 
  si 
  otterrà 
  un 
  sottogruppo 
  -( 
  di 
  T, 
  il 
  quale 
  sarà 
  irreducibile, 
  e 
  

   su 
  ogni 
  piano 
  y=cost. 
  subordinerà 
  un 
  gruppo 
  finito 
  oo 
  10 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  con- 
  

   tatto, 
  appartenente 
  al 
  tipo 
  del 
  g 
  10 
  . 
  

  

  La 
  trasformazione 
  di 
  contatto 
  (piana) 
  che 
  trasforma 
  siffatto 
  gruppo 
  piano 
  nel 
  g 
  10 
  

   varierà 
  in 
  generale 
  da 
  piano 
  a 
  piano, 
  cosicché 
  le 
  sue 
  equazioni 
  dipenderanno 
  dal 
  para- 
  

   metro 
  y. 
  

  

  x' 
  = 
  X(x, 
  p, 
  z, 
  y) 
  

  

  (2) 
  p' 
  = 
  P(x, 
  p, 
  z, 
  y) 
  

  

  z' 
  = 
  Z(x, 
  p, 
  z, 
  y) 
  

  

  