﻿41 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  181 
  

  

  e 
  si 
  ridurranno 
  all'identità 
  sui 
  piani 
  i/ 
  = 
  cost., 
  sui 
  quali 
  (come 
  su 
  y 
  = 
  y°) 
  il 
  gruppo 
  oo 
  10 
  

   è 
  identico 
  al 
  g 
  10 
  . 
  

  

  Ma 
  si 
  può 
  manifestamente 
  determinare 
  una 
  funzione 
  Q 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q, 
  tale 
  

   che 
  le 
  equazioni 
  

  

  ( 
  y' 
  — 
  y 
  

  

  (2') 
  

  

  ( 
  q' 
  = 
  Q(x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q) 
  

  

  aggiunte 
  alle 
  (2) 
  definiscano 
  una 
  trasformazione 
  T 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio. 
  Ora 
  

   questa 
  trasformazione 
  T, 
  lasciando 
  fermo 
  ogni 
  piano 
  «/=cost., 
  trasformerà 
  il 
  gruppo 
  T 
  

   in 
  un 
  altro 
  sottogruppo 
  I" 
  di 
  [IO], 
  e 
  il 
  gruppo 
  y 
  in 
  un 
  sottogruppo 
  f' 
  di 
  I", 
  il 
  

   quale 
  sarà 
  irreducibile 
  e 
  subordinerà 
  su 
  ciascun 
  piano 
  invariante 
  il 
  g 
  10 
  delle 
  parabole. 
  

   Tenendo 
  quindi 
  conto 
  del 
  nostro 
  resultato 
  del 
  n. 
  21 
  e 
  del 
  resultato 
  dello 
  Scheffers 
  

   ivi 
  ricordato, 
  concludiamo 
  che 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  I" 
  conterrà 
  come 
  sottogruppo 
  o 
  il 
  gruppo 
  

   infinito 
  

  

  «Pi, 
  «Psz, 
  «PsP. 
  «P4# 
  2 
  , 
  «P5#P, 
  «PeJP 
  2 
  , 
  <Pi(xp 
  — 
  2z) 
  

  

  [1] 
  <f> 
  s 
  x(xp 
  — 
  2z), 
  q> 
  9 
  p(xp 
  — 
  2z), 
  cp 
  10 
  (xp 
  — 
  2z) 
  2 
  

  

  [ 
  (qp 
  ! 
  =funz. 
  arbit. 
  di 
  y) 
  

  

  il 
  gruppo 
  finito 
  oo 
  10 
  dello 
  Scheffers: 
  

  

  (3) 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  2z, 
  x{xp 
  — 
  2z), 
  p(xp 
  — 
  2z), 
  (xp 
  — 
  2z) 
  2 
  . 
  

  

  27. 
  — 
  Cominciamo 
  dal 
  caso 
  in 
  cui 
  I" 
  contiene 
  il 
  gruppo 
  [1]. 
  Ponendo 
  per 
  

  

  semplicità 
  

  

  v 
  = 
  xp 
  — 
  2z, 
  

  

  immaginiamo 
  che 
  le 
  funzioni 
  caratteristiche 
  di 
  I' 
  siano 
  ordinate 
  secondo 
  le 
  potenze 
  

   di 
  x, 
  p 
  e 
  v. 
  ogni 
  funzione 
  siffatta 
  sarà 
  della 
  forma: 
  

  

  (4) 
  W= 
  S 
  a^.^V, 
  

  

  dove 
  le 
  a,, 
  m 
  ,„ 
  sono 
  funzioni 
  di 
  y: 
  e, 
  naturalmente, 
  le 
  varie 
  possibili 
  determinazioni 
  

   di 
  una 
  medesima 
  a^,, 
  costituiranno 
  un 
  modulo 
  finito 
  infinito. 
  

  

  Possiamo 
  notare 
  intanto 
  che 
  i 
  dieci 
  moduli 
  delle 
  determinazioni 
  delle 
  a 
  !im 
  , 
  n 
  per 
  

   cui 
  è 
  l 
  -\- 
  m 
  -f- 
  «<2, 
  sono 
  infiniti 
  (in 
  quanto 
  rappresentano 
  ciascuno 
  una 
  funzione 
  arbi- 
  

   traria) 
  e 
  indipendenti 
  fra 
  loro 
  e 
  dagli 
  altri 
  (in 
  quanto 
  le 
  a, 
  m)l 
  per 
  l-\-m 
  J 
  \-n<2 
  

   sono 
  arbitrarie 
  corrispondentemente 
  alla 
  determinazione 
  zero 
  di 
  tutte 
  le 
  altre 
  a). 
  

   Perciò 
  nella 
  (4) 
  potremo 
  senz'altro 
  supporre 
  che 
  i 
  termini 
  di 
  grado 
  minimo 
  siano 
  

   di 
  grado 
  maggiore 
  di 
  2. 
  Diremo, 
  secondo 
  l'uso, 
  ordine 
  di 
  una 
  W 
  il 
  grado 
  minimo 
  

   dei 
  suoi 
  termini 
  rispetto 
  ad 
  x, 
  p, 
  v. 
  

  

  Ciò 
  premesso, 
  prendiamo 
  a 
  considerare 
  una 
  funzione 
  caratteristica 
  W 
  del 
  nostro 
  

   gruppo 
  e 
  fra 
  i 
  suoi 
  termini 
  di 
  minimo 
  grado 
  consideriamo 
  quelli 
  che 
  contengono 
  p 
  

   al 
  massimo 
  esponente, 
  e 
  fra 
  questi 
  scegliamo 
  il 
  termine 
  di 
  massimo 
  grado 
  in 
  v. 
  Sia 
  : 
  

  

  codesto 
  termine. 
  

  

  a,. 
  iSit 
  x 
  T 
  p 
  s 
  v' 
  

  

  