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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  183 
  

  

  dove 
  la 
  a 
  è 
  una 
  funzione 
  di 
  y 
  che 
  possiamo 
  supporre 
  regolare 
  e 
  diversa 
  da 
  zero 
  

   per 
  y 
  = 
  0, 
  giacche 
  in 
  caso 
  contrario 
  basterebbe 
  eseguire 
  una 
  conveniente 
  traslazione 
  

   lungo 
  l'asse 
  y. 
  

  

  Se 
  allora 
  sviluppiamo 
  la 
  a,. 
  iM 
  secondo 
  le 
  potenze 
  di 
  y 
  e 
  ordiniamo 
  le 
  W 
  secondo 
  

   le 
  potenze 
  di 
  x, 
  y, 
  p, 
  v, 
  abbiamo 
  che 
  per 
  ogni 
  terna 
  di 
  numeri 
  interi 
  l, 
  m, 
  n 
  vi 
  è 
  

   nel 
  gruppo 
  una 
  funzione 
  : 
  

  

  xp 
  m 
  v 
  n 
  +.'..., 
  

  

  dove 
  i 
  termini 
  non 
  scritti 
  costituiscono 
  una 
  serie 
  di 
  potenze 
  di 
  x, 
  y, 
  p, 
  v, 
  i 
  cui 
  termini 
  

   di 
  minimo 
  grado 
  hanno 
  grado 
  maggiore 
  di 
  l-\- 
  m 
  -\- 
  n. 
  

  

  Basta 
  infine 
  tener 
  presente 
  che 
  nel 
  gruppo 
  si 
  ha 
  ogni 
  funzione 
  <p(y)v, 
  qualunque 
  

   sia 
  qp, 
  e 
  che 
  : 
  

  

  ) 
  tfv, 
  rffv" 
  \ 
  = 
  [l 
  + 
  m 
  + 
  2{n 
  — 
  l)\y 
  i 
  x 
  l 
  p 
  m 
  v 
  n 
  , 
  

  

  per 
  concludere 
  che 
  per 
  ogni 
  quaderna 
  di 
  numeri 
  interi 
  i, 
  1, 
  m, 
  n 
  esiste 
  nel 
  gruppo 
  una 
  

   funzione 
  : 
  

  

  (5) 
  ifx 
  l 
  p 
  m 
  v 
  n 
  -{- 
  ...., 
  

  

  dove 
  i 
  termini 
  non 
  scritti 
  sono 
  rispetto 
  ad 
  x, 
  y, 
  p 
  e 
  v 
  di 
  grado 
  maggiore 
  di 
  i 
  + 
  1 
  -)- 
  m 
  + 
  n 
  : 
  

   cioè 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  per 
  ogni 
  intero 
  h 
  contiene 
  il 
  massimo 
  numero 
  possibile 
  di 
  fun- 
  

   zioni 
  d'ordine 
  h, 
  dalle 
  quali 
  non 
  si 
  possano 
  dedurre 
  per 
  combinazione 
  lineare 
  funzioni 
  

   d'ordine 
  superiore. 
  

  

  Ciò 
  che 
  noi 
  per 
  ora 
  non 
  sappiamo 
  si 
  è, 
  se 
  in 
  ciascuna 
  funzione 
  (5) 
  i 
  termini 
  

   non 
  scritti 
  dipendano 
  in 
  qualche 
  modo 
  dai 
  primi. 
  

  

  Ma 
  è 
  facile 
  dimostrare 
  che 
  le 
  funzioni 
  caratteristiche 
  del 
  nostro 
  gruppo 
  non 
  

  

  (d 
  W 
  \ 
  

   tolta, 
  ben 
  inteso, 
  la 
  -r— 
  = 
  0). 
  

  

  A 
  questo 
  scopo 
  immaginiamo 
  anzitutto 
  di 
  ridurre 
  le 
  eventuali 
  equazioni 
  di 
  defini- 
  

   zione 
  del 
  modulo 
  caratteristico 
  di 
  T' 
  alla 
  seguente 
  forma 
  normale 
  ( 
  x 
  ): 
  trascurate 
  

   dapprima 
  le 
  equazioni 
  d'ordine 
  superiore 
  al 
  primo, 
  risolviamo 
  le 
  altre 
  rispetto 
  al 
  

   massimo 
  numero 
  possibile 
  di 
  derivate 
  del 
  primo 
  ordine 
  ; 
  poi, 
  messe 
  da 
  parte 
  le 
  equa- 
  

   zioni 
  d'ordine 
  superiore 
  al 
  secondo, 
  risolviamo 
  le 
  rimanenti 
  rispetto 
  al 
  massimo 
  numero 
  

   possibile 
  di 
  derivate 
  del 
  second'ordine, 
  e 
  così 
  via. 
  

  

  In 
  questa 
  guisa 
  un'equazione 
  di 
  definizione 
  d'ordine 
  i 
  -f- 
  1 
  -j- 
  m 
  -f- 
  n 
  sarà 
  della 
  

   forma 
  

  

  0,1,... 
  

  

  

  òy 
  r 
  dx 
  ! 
  òp'òv 
  

  

  dove 
  )• 
  4- 
  s 
  -f- 
  1 
  -\- 
  u<i 
  -\-l 
  -\- 
  m-\-n 
  e 
  le 
  6 
  sono 
  serie 
  di 
  potenze 
  di 
  y, 
  x, 
  p, 
  v. 
  

  

  Ciò 
  posto, 
  se 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  V 
  ammettesse 
  un'equazione 
  di 
  definizione 
  (6) 
  di 
  

   ordine 
  i 
  -\- 
  l 
  -\- 
  m 
  -\- 
  n, 
  sostituendo 
  a 
  W 
  in 
  essa 
  una 
  qualsiasi 
  funzione 
  caratteristica 
  

  

  ( 
  l 
  ) 
  Procedimenti 
  di 
  questo 
  tipo 
  furono 
  spesso 
  usati, 
  nelle 
  sue 
  determinazioni, 
  dal 
  Lie. 
  Cfr. 
  p. 
  es. 
  

   Untersuchungen 
  iiber 
  unendliche 
  continuirliche 
  Gruppen, 
  " 
  Abhandl. 
  der 
  K. 
  Sachsischen 
  Gesellsch. 
  der 
  

   Wiss. 
  „, 
  Bd. 
  XXI, 
  n. 
  Ili, 
  1895. 
  

  

  