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  UGO 
  AMALDI 
  44 
  

  

  di 
  I" 
  d'ordine 
  i 
  + 
  l 
  -\- 
  m 
  + 
  n, 
  si 
  otterrebbe 
  una 
  relazione 
  lineare 
  fra 
  i 
  coefficienti 
  

   dei 
  termini 
  di 
  minimo 
  grado 
  della 
  W, 
  mentre 
  invece 
  risulta 
  dalla 
  presenza 
  delle 
  

   funzioni 
  (5) 
  nel 
  gruppo 
  l'assoluta 
  indipendenza 
  di 
  codesti 
  coefficienti. 
  

  

  Perciò 
  concludiamo 
  che 
  il 
  modulo 
  di 
  I" 
  ammette 
  la 
  sola 
  equazione 
  di 
  definizione 
  

  

  dW 
  =0 
  

  

  dq 
  

  

  e 
  il 
  gruppo 
  T' 
  coincide 
  col 
  gruppo 
  [IO] 
  cioè 
  col 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  

   di 
  contatto 
  che 
  lascian 
  fermo 
  ciascun 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  

  

  28. 
  — 
  Supponiamo 
  in 
  secondo 
  luogo 
  che 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T' 
  contenga 
  il 
  sotto- 
  

   gruppo 
  finito 
  

  

  (3) 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  v, 
  xv, 
  pv, 
  v 
  2 
  . 
  

  

  Poiché 
  T' 
  deve 
  subordinare 
  su 
  ciascun 
  piano 
  y 
  = 
  cost. 
  il 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  

   trasformazioni 
  di 
  contatto 
  del 
  piano, 
  esso 
  conterrà 
  delle 
  funzioni 
  caratteristiche 
  di 
  

   ordine 
  superiore 
  al 
  secondo 
  ; 
  ed 
  allora, 
  poiché 
  nel 
  gruppo 
  compaiono 
  le 
  (3), 
  possiamo 
  

   ripetere 
  le 
  considerazioni 
  del 
  numero 
  prec. 
  fino 
  a 
  dimostrare 
  che 
  per 
  ogni 
  terna 
  di 
  

   numeri 
  interi 
  l, 
  m, 
  n 
  esiste 
  in 
  I" 
  una 
  funzione 
  della 
  forma 
  

  

  (7) 
  ax 
  l 
  p 
  m 
  v" 
  + 
  .... 
  (Z-f-m-f-w>2) 
  

  

  dove 
  i 
  termini 
  non 
  scritti 
  sono, 
  rispetto 
  ad 
  r, 
  p, 
  v, 
  di 
  grado 
  superiore 
  ad 
  l-\-m-\-n. 
  

  

  Ora 
  importa 
  far 
  vedere 
  che, 
  se 
  si 
  esclude 
  il 
  caso 
  trattato 
  al 
  n. 
  prec, 
  le 
  fun- 
  

   zioni 
  (7) 
  sono 
  indipendenti 
  da 
  y. 
  

  

  Si 
  osservi 
  infatti 
  in 
  primo 
  luogo 
  che 
  dalla 
  (7), 
  mediante 
  combinazione 
  per 
  parentesi 
  

   con 
  le 
  (3), 
  si 
  può 
  giungere 
  o 
  alla 
  

  

  axp 
  -f- 
  .... 
  

   o 
  alla 
  

  

  ot'-f 
  .... 
  

  

  e 
  l'una 
  e 
  l'altra, 
  combinate 
  con 
  la 
  (7) 
  stessa, 
  ci 
  dicono 
  che 
  fra 
  le 
  determinazioni 
  del 
  

   coefficiente 
  di 
  x 
  l 
  p 
  m 
  v 
  n 
  vi 
  è, 
  insieme 
  con 
  a, 
  anche 
  a 
  2 
  e 
  quindi 
  a 
  3 
  ,.... 
  Perciò 
  il 
  modulo 
  

   in 
  cui 
  può 
  variare 
  a 
  è 
  infinito, 
  e 
  si 
  può 
  assumere 
  per 
  a 
  una 
  funzione 
  arbitraria. 
  

   Poiché 
  ciò 
  si 
  può 
  ripetere 
  di 
  ogni 
  funzione 
  (7) 
  ricadiamo 
  sul 
  caso 
  del 
  n. 
  prec. 
  Volendo 
  

   escludere 
  questo 
  caso, 
  dovremo 
  ammettere 
  che 
  in 
  ogni 
  funzione 
  (7) 
  il 
  coefficiente 
  a 
  si 
  

   riduca 
  ad 
  una 
  costante 
  ; 
  e 
  dal 
  procedimento 
  or 
  ora 
  indicato 
  risulta 
  altresì 
  che 
  ciò 
  

   vale 
  anche 
  per 
  le 
  funzioni 
  del 
  primo 
  o 
  second'ordine, 
  le 
  quali 
  perciò 
  debbono 
  ridursi 
  

   tutte 
  alle 
  sole 
  (3). 
  

  

  Ma 
  si 
  può 
  di 
  più 
  vedere 
  che 
  nessun 
  coefficiente 
  di 
  (7) 
  può 
  dipendere 
  da 
  y; 
  

   giacché, 
  se 
  fosse 
  funzione 
  di 
  y 
  il 
  coefficiente 
  6 
  del 
  termine 
  in 
  x 
  r 
  y'v', 
  dove 
  natural- 
  

   mente 
  sia 
  r 
  -f- 
  s 
  -\- 
  t>l 
  -\- 
  m 
  -f- 
  n, 
  basterebbe 
  combinare 
  la 
  (7) 
  t 
  volte 
  con 
  la 
  1, 
  s 
  volte 
  

   con 
  la 
  x, 
  r 
  volte 
  con 
  la 
  p, 
  per 
  ottenere 
  una 
  funzione 
  

  

  3 
  + 
  

  

  onde 
  risulta, 
  per 
  quanto 
  si 
  è 
  detto 
  sopra, 
  che 
  R 
  è 
  costante. 
  

  

  