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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  

  

  185 
  

  

  Concludiamo 
  quindi 
  che 
  in 
  questo 
  caso 
  le 
  funzioni 
  di 
  I" 
  sono 
  tutte 
  indipendenti 
  

   da 
  y 
  : 
  ed 
  allora, 
  tenuto 
  conto 
  della 
  presenza 
  nel 
  gruppo 
  di 
  una 
  funzione 
  della 
  forma 
  

  

  x'p 
  m 
  v 
  n 
  

  

  qualunque 
  sia 
  la 
  terna 
  di 
  esponenti 
  l, 
  m, 
  n, 
  si 
  dimostra, 
  con 
  lo 
  stesso 
  procedimento 
  

   seguito 
  al 
  n. 
  prec, 
  che 
  le 
  funzioni 
  caratteristiche 
  di 
  I", 
  considerate 
  come 
  funzioni 
  

   di 
  x, 
  p, 
  v 
  non 
  sono 
  legate 
  da 
  nessuna 
  equazione 
  di 
  definizione 
  ( 
  1 
  ) 
  ; 
  cosicché 
  il 
  gruppo 
  

   è 
  dato 
  da 
  

  

  [11] 
  

  

  cp 
  (x, 
  z, 
  p) 
  

   cp 
  = 
  funz. 
  arb. 
  di 
  x, 
  z, 
  p 
  

  

  29. 
  — 
  Il 
  più 
  ampio 
  gruppo 
  della 
  prima 
  categoria, 
  che 
  subordini 
  su 
  ciascun 
  piano 
  

   invariante 
  il 
  gruppo 
  di 
  tutte 
  le 
  trasformazioni 
  di 
  contatto, 
  che 
  trasformano 
  fra 
  di 
  

   loro 
  le 
  variabili 
  x, 
  p, 
  cioè 
  il 
  gruppo 
  piano 
  

  

  », 
  <P 
  (*, 
  P), 
  

  

  è 
  manifestamente 
  il 
  gruppo 
  di 
  modulo 
  caratteristico: 
  

  

  [12] 
  

  

  <p(x, 
  y, 
  p), 
  zcp 
  t 
  (y) 
  

   cp, 
  cp 
  1= 
  funz. 
  arb. 
  

  

  ò<P 
  

  

  Ora, 
  tenendo 
  conto 
  della: 
  

  

  j 
  cpj 
  (y)z 
  , 
  cp(z, 
  y, 
  p) 
  \ 
  = 
  <p 
  cpi 
  — 
  pepi 
  -^ 
  

  

  vediamo 
  che 
  il 
  gruppo 
  [12] 
  ammette 
  come 
  sottogruppo 
  invariante 
  il 
  gruppo: 
  

  

  [17] 
  

  

  <pfo 
  y, 
  p) 
  

  

  cp=funz. 
  arbit. 
  

  

  il 
  quale 
  è 
  il 
  più 
  ampio 
  gruppo 
  della 
  prima 
  categoria, 
  che 
  subordini 
  su 
  ogni 
  piano 
  

  

  invariante 
  il 
  gruppo 
  piano 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  che 
  trasformano 
  

  

  in 
  sé 
  il 
  pfaffiano 
  

  

  dz 
  — 
  pdx 
  

   cioè 
  il 
  gruppo 
  piano 
  

  

  q>(x,p). 
  

  

  (') 
  Nel 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio, 
  cioè 
  ove 
  si 
  considerino 
  le 
  

   sue 
  funzioni 
  caratteristiche 
  come 
  funzioni 
  di 
  x, 
  y, 
  z, 
  p, 
  q, 
  ìe 
  equazioni 
  di 
  definizione 
  del 
  modulo 
  

   caratteristico 
  di 
  [11] 
  sono 
  : 
  

  

  dW 
  n 
  ÒW 
  „ 
  

  

  -r— 
  =0, 
  -r— 
  = 
  0. 
  

  

  oy 
  òq 
  

  

  Sebie 
  II. 
  Tom. 
  LVII. 
  

  

  