﻿47 
  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  187 
  

  

  Ma 
  allora 
  mediante 
  successive 
  combinazioni 
  delle 
  (10) 
  con 
  le 
  dx, 
  a 
  f 
  p 
  si 
  trova 
  

   nel 
  gruppo 
  anche 
  una 
  funzione 
  della 
  forma 
  

  

  (11) 
  \ixp 
  -f 
  .... 
  , 
  

  

  dove, 
  manifestamente, 
  u 
  è 
  funzione 
  di 
  y, 
  se 
  tali 
  sono 
  le 
  o", 
  o 
  la 
  a 
  o 
  e 
  le 
  une 
  e 
  l'altra. 
  

   Ma 
  allora, 
  combinando 
  la 
  (11) 
  con 
  la 
  (10), 
  si 
  trova 
  che 
  il 
  coefficiente 
  di 
  x 
  l 
  p 
  m 
  nella 
  (10) 
  

   deve 
  ammettere 
  le 
  infinite 
  determinazioni 
  a, 
  uà, 
  u 
  2 
  a,...; 
  onde 
  si 
  conclude 
  che 
  a 
  è 
  

   arbitraria; 
  e, 
  come 
  al 
  n. 
  27, 
  per 
  ogni 
  terna 
  di 
  interi 
  i, 
  l, 
  ni, 
  esiste 
  nel 
  gruppo 
  I" 
  

   una 
  funzione 
  

  

  ijp 
  l 
  v 
  m 
  + 
  

  

  Ma 
  di 
  qui 
  con 
  procedimento 
  analogo 
  a 
  quello 
  tenuto 
  alla 
  fine 
  del 
  n. 
  27 
  deduciamo 
  

   che 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  di 
  T' 
  (costituito 
  di 
  funzioni 
  di 
  x, 
  y, 
  p) 
  non 
  può 
  ammet- 
  

   tere 
  nessuna 
  equazione 
  di 
  definizione 
  ( 
  : 
  ); 
  cosicché 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  deve 
  in 
  questo 
  

   caso 
  coincidere 
  col 
  gruppo 
  [17]. 
  

  

  Se 
  vogliamo 
  escludere 
  questo 
  caso, 
  dobbiamo 
  manifestamente 
  supporre 
  che 
  

   nelle 
  (10) 
  siano 
  indipendenti 
  da 
  y 
  non 
  solo 
  i 
  primi 
  termini 
  ma 
  anche 
  tutti 
  i 
  suc- 
  

   cessivi, 
  e 
  che 
  le 
  funzioni 
  di 
  primo 
  ordine 
  in 
  x 
  e 
  p 
  si 
  riducano 
  appunto 
  alle 
  

  

  x, 
  p. 
  

  

  Nulla 
  possiamo 
  dire 
  a 
  priori 
  circa 
  le 
  eventuali 
  funzioni 
  caratteristiche 
  dipendenti 
  

   dalla 
  sola 
  y: 
  esse 
  possono 
  ridursi 
  alla 
  sola 
  costante 
  o 
  avere 
  un 
  numero 
  finito 
  di 
  

   determinazioni 
  linearmente 
  indipendenti 
  o 
  ammettere 
  ogni 
  possibile 
  determinazione. 
  

  

  Ad 
  ogni 
  modo 
  il 
  nostro 
  gruppo 
  T' 
  o 
  coincide 
  col 
  gruppo 
  generato 
  dalle 
  funzioni 
  

   delle 
  sole 
  x, 
  p 
  

  

  L 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  

  

  (12) 
  

  

  x 
  ip» 
  

  

  oppure 
  contiene 
  questo 
  gruppo 
  come 
  sottogruppo 
  invariante. 
  

  

  Circa 
  il 
  gruppo 
  (12), 
  col 
  solito 
  ragionamento 
  della 
  fine 
  del 
  n. 
  27 
  si 
  ritrova 
  che 
  

   le 
  sue 
  funzioni 
  non 
  possono 
  esser 
  legate 
  da 
  alcuna 
  equazione 
  di 
  definizione, 
  cosicché 
  

   il 
  gruppo 
  contiene 
  ogni 
  possibile 
  funzione 
  di 
  x 
  e 
  p. 
  

  

  A 
  seconda 
  poi 
  dei 
  tre 
  casi 
  che 
  già 
  accennammo 
  potersi 
  presentare 
  per 
  le 
  fun- 
  

   zioni 
  caratteristiche 
  della 
  sola 
  y, 
  otteniamo 
  i 
  tre 
  gruppi 
  seguenti 
  : 
  

  

  [18] 
  

  

  Vfap), 
  <Pi(y) 
  

   cp, 
  <p 
  x 
  = 
  funz. 
  arb. 
  

  

  (') 
  Naturalmente 
  entro 
  il 
  gruppo 
  totale 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  le 
  equazioni 
  di 
  defini- 
  

   zione 
  sono: 
  

  

  òz 
  U 
  ' 
  d 
  2 
  U 
  ' 
  

  

  