﻿53 
  GRUPri 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  193 
  

  

  Noi 
  ora, 
  considerando 
  ogni 
  singolo 
  gruppo 
  G 
  della 
  prima 
  categoria 
  e 
  il 
  rispettivo 
  

   modulo 
  caratteristico 
  9tt, 
  dovremo 
  formare 
  i 
  moduli 
  

  

  W, 
  w 
  ) 
  

  

  (2R, 
  W 
  , 
  W 
  1 
  ) 
  

  

  (SK, 
  W 
  , 
  W 
  u 
  W,) 
  

  

  (9K. 
  W 
  v 
  ), 
  

  

  determinando 
  in 
  ciascun 
  caso 
  le 
  ip* 
  e 
  y, 
  in 
  modo 
  che 
  ciascuno 
  di 
  codesti 
  quattro 
  

   moduli 
  sia 
  il 
  modulo 
  caratteristico 
  di 
  un 
  gruppo 
  infinito. 
  

  

  35, 
  — 
  Cominciamo 
  dal 
  gruppo 
  

  

  [1] 
  <Pi(y), 
  a«PaW, 
  jP<P 
  3 
  («/), 
  ^ 
  2( 
  P40/), 
  xpWsiy), 
  P 
  2 
  <PM 
  

  

  [xp 
  — 
  2»)«p 
  7 
  (y), 
  x(xp 
  — 
  2z)<p 
  s 
  {y), 
  P&P 
  — 
  2»)q> 
  9 
  0/). 
  (a-p 
  — 
  2«) 
  2 
  ; 
  

  

  e 
  consideriamo 
  anzitutto 
  il 
  corrispondente 
  gruppo 
  della 
  quarta 
  classe. 
  Poiché 
  quest'ul- 
  

   timo 
  gruppo 
  deve 
  contenere 
  [1] 
  come 
  sottogruppo 
  invariante, 
  avremo 
  che, 
  qualunque 
  

   sia 
  la 
  funzione 
  caratteristica 
  W 
  di 
  [1] 
  la 
  funzione 
  

  

  ) 
  <P(y)2 
  + 
  Yfa 
  y, 
  z, 
  p), 
  W\ 
  

  

  dovrà 
  appartenere 
  al 
  modulo 
  di 
  [1], 
  ossia, 
  come 
  noi 
  scriveremo 
  d'or 
  innanzi, 
  dovrà 
  

   essere 
  

  

  I 
  <P(y)2 
  + 
  ¥(*, 
  y, 
  », 
  P), 
  W{ 
  = 
  (mod. 
  [1]) 
  

  

  Ma 
  per 
  la 
  proprietà 
  distributiva 
  delle 
  parentesi 
  questa 
  congruenza 
  si 
  può 
  scrivere 
  

  

  1 
  <P(y)«, 
  W\ 
  + 
  ) 
  V 
  (a, 
  y, 
  e, 
  p), 
  TF{ 
  = 
  (mod. 
  Il]) 
  

  

  ossia 
  

  

  <P(y) 
  17 
  +)*(«, 
  2/. 
  *, 
  P), 
  ^1 
  = 
  (mod. 
  [1]). 
  

  

  E 
  allora, 
  notando 
  che 
  ogni 
  funzione 
  del 
  modulo 
  di 
  [1] 
  si 
  cambia 
  in 
  una 
  funzione 
  

   del 
  modulo 
  stesso, 
  quando 
  la 
  si 
  moltiplichi 
  per 
  una 
  funzione 
  qualsiasi 
  di 
  y 
  e 
  la 
  si 
  

   derivi 
  rispetto 
  ad 
  y, 
  concludiamo 
  che 
  deve 
  essere 
  

  

  \y{x,y,z,p),W[ 
  = 
  Q 
  (mod. 
  [1]). 
  

  

  In 
  altre 
  parole, 
  aggiungendo 
  al 
  modulo 
  di 
  [1] 
  tutte 
  le 
  possibili 
  determinazioni 
  

   della 
  ip 
  (corrispondenti 
  alle 
  determinazioni 
  della 
  q>(y)) 
  si 
  deve 
  ottenere 
  il 
  modulo 
  di 
  

   un 
  gruppo 
  della 
  prima 
  categoria, 
  contenente 
  come 
  sottogruppo 
  invariante 
  il 
  gruppo 
  [1]. 
  

   Ma 
  il 
  solo 
  gruppo 
  della 
  prima 
  categoria, 
  che 
  contenga 
  il 
  sottogruppo 
  [1] 
  è 
  il 
  ^gruppo 
  

   totale 
  [IO] 
  delle 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  che 
  lasciano 
  fermo 
  ogni 
  piano 
  y 
  = 
  eost. 
  ; 
  

   ma 
  codesto 
  gruppo 
  [IO] 
  non 
  ammette 
  il 
  gruppo 
  [1] 
  come 
  sottogruppo 
  invariante 
  ; 
  

  

  Serie 
  IL 
  Tom. 
  LVII. 
  z 
  

  

  