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  UGO 
  AMALDI 
  58 
  

  

  dalle 
  quali 
  resulta 
  senz'altro 
  che 
  le 
  o\ 
  debbono 
  ridursi 
  alla 
  costante, 
  e 
  compare 
  nel 
  

   gruppo 
  la 
  sola 
  funzione 
  xp 
  — 
  2z. 
  Ciò 
  vale 
  a 
  maggiore 
  ragione 
  quando 
  la 
  cp 
  (y) 
  sia 
  

   arbitraria: 
  perciò 
  trattiamo 
  ora 
  quest'ultimo 
  caso, 
  il 
  quale 
  comprende 
  in 
  sé 
  quello, 
  

   in 
  cui 
  cp 
  ha 
  le 
  tre 
  determinazioni 
  1, 
  y, 
  y 
  2 
  . 
  

  

  Nella 
  funzione 
  <f>(y)q-\-(xp 
  — 
  2z)a(ij), 
  le 
  funzioni 
  a 
  e 
  cp 
  non 
  possono 
  essere 
  

   indipendenti, 
  perchè 
  in 
  tal 
  caso 
  il 
  gruppo 
  conterrebbe, 
  contro 
  le 
  conclusioni 
  pre- 
  

   cedenti, 
  funzioni 
  della 
  forma 
  (xp 
  — 
  2z)a(y), 
  per 
  a#=cost. 
  Ora 
  la 
  relazione 
  fra 
  a 
  e 
  cp 
  

   non 
  può 
  essere 
  che 
  un'equazione 
  lineare 
  finita 
  o 
  differenziale. 
  Per 
  considerare 
  il 
  caso 
  

   più 
  generale 
  avremo 
  

  

  (10) 
  F 
  t 
  (a) 
  = 
  F(q>) 
  

  

  dove 
  F 
  1 
  ed 
  F 
  rappresentano 
  due 
  forme 
  differenziali 
  lineari. 
  Ora 
  notiamo 
  che, 
  poiché 
  

   le 
  Gì 
  si 
  riducono 
  tutte 
  alla 
  costante, 
  alla 
  determinazione 
  zero 
  di 
  cp 
  può 
  corrispondere 
  

   per 
  a 
  la 
  sola 
  determinazione 
  costante. 
  Quindi 
  concludiamo 
  che 
  la 
  F^ 
  o 
  è 
  di 
  primo 
  

   ordine 
  o 
  di 
  ordine 
  zero, 
  e 
  nel 
  primo 
  caso 
  è 
  identicamente 
  

  

  

  W 
  = 
  ^ 
  

  

  cosicché 
  la 
  (10) 
  diventa 
  

  

  

  do') 
  

  

  £h*w 
  

  

  Ma 
  poiché, 
  dopo 
  l'eseguita 
  trasformazione, 
  nel 
  gruppo 
  compare 
  la 
  funzione 
  q, 
  

   la 
  (10') 
  deve 
  essere 
  soddisfatta 
  quando 
  si 
  ponga 
  cp 
  = 
  cost., 
  a 
  = 
  cost. 
  Di 
  qui 
  risulta 
  

   intanto 
  che 
  la 
  F 
  manca 
  del 
  termine 
  d'ordine 
  zero. 
  

  

  D'altra 
  parte, 
  dalla 
  

  

  ÌVq 
  + 
  {*p 
  — 
  2s)a(y), 
  <pq 
  + 
  (xp 
  — 
  2z)a(y){ 
  = 
  

   /_ 
  dm 
  — 
  d<p\ 
  . 
  da 
  —da 
  

  

  discende 
  che 
  la 
  (10'), 
  insieme 
  con 
  le 
  soluzioni 
  a, 
  cp, 
  ed 
  a, 
  <p 
  deve 
  ammettere 
  anche 
  la 
  

  

  z, 
  -, 
  -, 
  — 
  da 
  da 
  — 
  dq> 
  dq> 
  

  

  (11) 
  Vdv-vwr 
  <p 
  ^- 
  q> 
  ^ 
  : 
  

  

  in 
  particolare, 
  ponendo 
  cp 
  = 
  1, 
  a 
  = 
  si 
  ha 
  che 
  in 
  virtù 
  della 
  (10') 
  deve 
  sussistere 
  

   anche 
  la 
  

  

  d^a 
  _ 
  p/*P\ 
  

   <**/' 
  WW' 
  

  

  cioè 
  deve 
  essere 
  identicamente 
  

  

  A. 
  f 
  — 
  p 
  Ji 
  

   dy 
  dy 
  ' 
  

  

  e 
  la 
  F, 
  commutabile 
  con 
  la 
  derivazione, 
  è 
  a 
  coefficienti 
  costanti, 
  e 
  della 
  forma 
  ('): 
  

  

  ir. 
  d 
  , 
  d 
  1 
  . 
  d" 
  

  

  (') 
  Cfir. 
  per 
  es.: 
  Pinckerle-Amaldi, 
  Le 
  operazioni 
  distributive, 
  ecc., 
  pag. 
  120. 
  

  

  