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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  

  

  215 
  

  

  teranno 
  naturalmente 
  gli 
  oo 
  1 
  piani 
  del 
  fascio 
  invariante 
  secondo 
  il 
  gruppo 
  (infinito) 
  

   totale 
  in 
  una 
  sola 
  variabile. 
  

  

  Ora 
  ogni 
  gruppo 
  irreducibile 
  finito 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio 
  

   che 
  lascia 
  fermo 
  ogni 
  piano 
  i/ 
  = 
  cost., 
  appartiene, 
  come 
  ha 
  dimostrato 
  lo 
  Scheffers 
  (*), 
  

   ad 
  uno 
  dei 
  seguenti 
  tre 
  tipi 
  : 
  

  

  a) 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  2z, 
  x{xp 
  — 
  2z), 
  p(xp 
  — 
  2z), 
  (xp 
  — 
  2«) 
  8 
  

  

  P) 
  a 
  i(y) 
  a 
  Ay), 
  T 
  i(y), 
  x<5i{y), 
  p 
  G 
  Ay), 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  xp 
  — 
  2* 
  

  

  t) 
  <*Ay) 
  G 
  Ay), 
  x 
  Ay), 
  x<y 
  t 
  {y), 
  p^Ay), 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  2 
  , 
  

  

  {i, 
  j=\, 
  2, 
  ..., 
  A; 
  1 
  = 
  1, 
  2, 
  ..., 
  k) 
  

  

  dove 
  le 
  o", 
  : 
  , 
  t, 
  sono 
  funzioni 
  determinate 
  di 
  y, 
  sottoposte 
  alla 
  sola 
  condizione 
  che 
  

   le 
  di 
  siano 
  linearmente 
  indipendenti 
  fra 
  loro 
  e 
  le 
  x, 
  siano 
  linearmente 
  indipendenti 
  

   fra 
  loro 
  e 
  dalle 
  h 
  2 
  funzioni 
  (J<Oj. 
  Le 
  t, 
  possono 
  anche 
  essere 
  tutte 
  nulle: 
  mentre 
  

   delle 
  Ó 
  t 
  almeno 
  una 
  sarà 
  diversa 
  da 
  zero. 
  

  

  Noi 
  qui 
  dobbiamo 
  cercar 
  di 
  ampliare 
  ciascuno 
  di 
  codesti 
  tre 
  gruppi 
  aggiungendo 
  

   una 
  funzione 
  della 
  forma 
  

  

  ^{yìq 
  + 
  vix, 
  y, 
  z,p) 
  

  

  dove 
  q> 
  designa 
  una 
  funzione 
  arbitraria. 
  

  

  Cominciamo 
  dal 
  gruppo 
  oo 
  10 
  . 
  

  

  Poiché 
  l'alternata 
  di 
  <y{y)q 
  con 
  ognuna 
  delle 
  funzioni 
  (1) 
  è 
  nulla, 
  troviamo 
  che 
  

   le 
  alternate 
  della 
  \\i 
  colle 
  varie 
  funzioni 
  (1) 
  devono 
  appartenere 
  al 
  modulo 
  delle 
  stesse 
  

   funzioni 
  (1): 
  in 
  altre 
  parole 
  aggiungendo 
  alle 
  (1) 
  tutte 
  le 
  determinazioni 
  di 
  ip 
  si 
  

   deve 
  ottenere 
  un 
  gruppo 
  della 
  prima 
  categoria, 
  avente 
  per 
  sottogruppo 
  invariante 
  

   il 
  gruppo 
  (1). 
  

  

  Ma 
  i 
  soli 
  gruppi 
  della 
  prima 
  categoria 
  che 
  contengano 
  come 
  sottogruppo 
  il 
  

   gruppo 
  (1) 
  sono 
  il 
  gruppo 
  

  

  [1] 
  

  

  e 
  i 
  gruppi 
  

  

  [IO] 
  

  

  <Pi(«/). 
  x<f>s(y), 
  p<f>s(y), 
  x 
  2 
  Vi(y), 
  wpVfki), 
  p 
  2( 
  Pe(y), 
  {xp 
  — 
  2«)cp 
  7 
  («/) 
  

  

  x{xp 
  — 
  2z)q> 
  s 
  {y), 
  p{xp 
  — 
  2z)<p 
  9 
  (y), 
  [xp 
  — 
  2z) 
  2 
  y 
  w 
  {y) 
  

  

  <p(x, 
  y, 
  z, 
  p), 
  

  

  [11] 
  

  

  op(z, 
  z, 
  p) 
  

  

  nessuno 
  dei 
  quali 
  contiene 
  il 
  gruppo 
  finito 
  (1) 
  come 
  sottogruppo 
  invariante. 
  Perciò 
  

   concludiamo 
  che 
  la 
  ij» 
  deve 
  appartenere 
  al 
  modulo 
  delle 
  (1), 
  onde 
  si 
  può 
  porre 
  

   senz'altro 
  iy 
  = 
  ; 
  e 
  otteniamo 
  il 
  gruppo 
  

  

  [21], 
  

  

  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p", 
  xp 
  - 
  

  

  - 
  2z, 
  x{xp 
  — 
  2z), 
  p{xp 
  — 
  2z), 
  {xp 
  — 
  2zf 
  

  

  

  <p{y)q 
  

  

  

  cp 
  = 
  funz. 
  arb. 
  

  

  ( 
  l 
  ) 
  Dissertazione, 
  pagg. 
  141, 
  142, 
  166. 
  

  

  