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  GRUPPI 
  INFINITI 
  DI 
  TRASFORMAZIONI 
  DI 
  CONTATTO 
  217 
  

  

  54. 
  — 
  Giunto 
  al 
  termine 
  della 
  determinazione 
  proposta, 
  credo 
  inutile 
  di 
  racco- 
  

   gliere 
  in 
  un 
  quadro 
  unico 
  i 
  rappresentanti 
  dei 
  tipi 
  da 
  noi 
  determinati 
  ; 
  giacche 
  panni 
  

   che 
  le 
  proprietà 
  fondamentali 
  di 
  ciascun 
  gruppo 
  e 
  i 
  suoi 
  caratteri 
  salienti, 
  rispetto 
  

   ai 
  gruppi 
  da 
  esso 
  meno 
  lontani, 
  risaltino 
  meglio 
  che 
  altrove 
  dal 
  posto 
  stesso, 
  che 
  

   esso 
  occupa 
  nell'ordine 
  della 
  nostra 
  determinazione. 
  Certo 
  non 
  possediamo 
  qui 
  una 
  

   classificazione 
  razionale 
  veramente 
  soddisfacente 
  dei 
  nostri 
  gruppi 
  : 
  ma 
  io 
  credo 
  che 
  

   essa 
  non 
  sia 
  facile 
  e 
  forse 
  nemmeno 
  utile, 
  fino 
  a 
  quando 
  non 
  si 
  possiedano 
  tutti 
  

   i 
  gruppi 
  infiniti 
  di 
  trasformazioni 
  di 
  contatto 
  dello 
  spazio. 
  Allora 
  sarà 
  anche 
  possibile 
  

   di 
  fissare 
  i 
  criteri, 
  in 
  base 
  ai 
  quali 
  si 
  sceglieranno, 
  fra 
  il 
  grande 
  numero 
  dei 
  tipi, 
  

   quelli 
  che 
  meritano 
  uno 
  studio 
  particolare 
  in 
  ordine 
  all'integrazione 
  delle 
  equazioni 
  

   a 
  derivate 
  parziali. 
  

  

  Qui, 
  prima 
  di 
  porre 
  termine 
  al 
  presente 
  lavoro, 
  dobbiamo 
  rispondere 
  a 
  due 
  

   domande 
  che 
  nascono 
  spontanee. 
  

  

  Anzitutto 
  i 
  tipi 
  da 
  noi 
  determinati 
  sono 
  essi 
  tutti 
  irreducibili? 
  A 
  questa 
  

   domanda 
  va 
  risposto 
  affermativamente 
  : 
  invero 
  basta 
  che 
  noi, 
  valendoci 
  di 
  una 
  osser- 
  

   vazione 
  dello 
  Scheffkrs, 
  notiamo 
  che 
  ognuno 
  dei 
  nostri 
  gruppi 
  contiene 
  un 
  sottogruppo 
  

   (finito) 
  della 
  forma 
  

  

  a{nY, 
  xa(y), 
  pa(y), 
  x*, 
  xp, 
  f 
  

   (ff 
  — 
  funz. 
  det.) 
  

  

  e 
  che 
  questo 
  gruppo 
  è 
  irreducibile. 
  

  

  In 
  secondo 
  luogo 
  si 
  può 
  ancora 
  dimostrare 
  che 
  i 
  tipi 
  di 
  gruppi 
  da 
  noi 
  deter- 
  

   minati 
  sono 
  tutti 
  distinti, 
  o, 
  in 
  altre 
  parole, 
  non 
  esistono 
  fra 
  essi 
  coppie 
  di 
  gruppi, 
  

   trasformabili 
  l'uno 
  nell'altro, 
  mediante 
  una 
  trasformazione 
  di 
  contatto. 
  

  

  A 
  tale 
  scopo 
  notiamo 
  anzitutto 
  come 
  sia 
  evidente 
  che 
  due 
  quali 
  si 
  vogliano 
  

   dei 
  gruppi 
  da 
  noi 
  ottenuti 
  non 
  possano 
  essere 
  equivalenti 
  per 
  mezzo 
  di 
  una 
  trasforma- 
  

   zione 
  di 
  contatto 
  (del 
  gruppo 
  [10]J, 
  che 
  trasformi 
  in 
  sé 
  l'insieme 
  degli 
  co 
  1 
  piani 
  

  

  (2) 
  y 
  = 
  cost. 
  

  

  Ciò 
  risulta 
  senz'altro 
  dalla 
  classificazione 
  stessa, 
  in 
  base 
  a 
  cui 
  siamo 
  venuti 
  

   successivamente 
  determinando 
  i 
  nostri 
  gruppi. 
  

  

  Ma, 
  naturalmente, 
  con 
  ciò 
  non 
  è 
  escluso 
  che 
  fra 
  di 
  essi 
  esistano 
  coppie 
  di 
  

   gruppi 
  G, 
  G', 
  i 
  quali 
  siano 
  equivalenti 
  fra 
  loro 
  per 
  mezzo 
  di 
  una 
  trasformazione 
  di 
  

   contatto 
  T, 
  che 
  non 
  trasformi 
  in 
  sé 
  i 
  piani 
  (2). 
  

  

  In 
  tal 
  caso 
  ciascuno 
  dei 
  due 
  gruppi 
  G, 
  G' 
  dovrebbe 
  ammettere 
  una 
  schiera 
  

   invariante 
  oo 
  l 
  di 
  equazioni 
  della 
  forma 
  

  

  (3) 
  *(■.*'.&£)= 
  co8t 
  - 
  

  

  distinta 
  dalla 
  (2) 
  e 
  ottenuta 
  appunto 
  trasformando 
  la 
  (2) 
  per 
  mezzo 
  della 
  T 
  o 
  della 
  T~ 
  l 
  . 
  

   Ma 
  noi 
  invece 
  escluderemo 
  questa 
  possibilità, 
  mostrando 
  che 
  ciascuno 
  dei 
  gruppi 
  

   da 
  noi 
  determinati 
  ammette 
  come 
  unica 
  schiera 
  invariante 
  co 
  1 
  di 
  equazioni 
  alle 
  derivate 
  

   parziali 
  del 
  primo 
  ordine 
  la 
  schiera 
  (2). 
  

  

  Serie 
  II. 
  Tom. 
  LVII. 
  c' 
  

  

  