﻿218 
  UGO 
  AMA1DI 
  • 
  78 
  

  

  Esclusi 
  dapprima 
  i 
  gruppi 
  [6], 
  [6]!, 
  [9], 
  [9]j, 
  [21], 
  [22], 
  [23], 
  notiamo 
  che 
  

   tutti 
  gli 
  altri 
  ammettono 
  come 
  sottogruppo 
  il 
  gruppo 
  infinito 
  

  

  (4) 
  cpO/), 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  p 
  n 
  -, 
  

  

  dove 
  cp 
  indica 
  una 
  funzione 
  arbitraria 
  del 
  suo 
  argomento. 
  

  

  I 
  gruppi 
  [6], 
  [9| 
  contengono 
  anch'essi 
  codesto 
  sottogruppo 
  se 
  una 
  delle 
  fun- 
  

   zioni 
  o"j(y) 
  è 
  costante. 
  In 
  caso 
  contrario 
  basta 
  eseguire 
  la 
  trasformazione 
  di 
  contatto, 
  

   trasformante 
  in 
  se 
  i 
  piani 
  (2), 
  

  

  ( 
  *\ 
  = 
  xa-Sy), 
  p 
  x 
  = 
  j 
  pff 
  1 
  (y), 
  z 
  x 
  = 
  za\(y) 
  

   (5) 
  

  

  ( 
  ?/l 
  = 
  9, 
  ?1 
  = 
  $A 
  — 
  ('/> 
  — 
  2s)<Ti 
  -^ 
  > 
  

  

  per 
  ridurre 
  costante 
  la 
  o"j 
  , 
  senza 
  modificare 
  la 
  forma 
  delle 
  altre 
  funzioni 
  del 
  gruppo 
  ; 
  

   dopo 
  di 
  che 
  i 
  gruppi 
  [6J, 
  [9] 
  saranno 
  trasformati 
  in 
  due 
  gruppi 
  contenenti 
  il 
  sotto- 
  

   gruppo 
  (4). 
  

  

  Ad 
  analogo 
  resultato 
  si 
  giunge 
  pei 
  gruppi 
  [6]!, 
  [9]i, 
  ricorrendo 
  alla 
  trasforma- 
  

   zione 
  di 
  contatto 
  che 
  si 
  ottiene 
  dalla 
  (5), 
  ponendovi 
  

  

  0-j 
  = 
  e 
  r 
  '". 
  

  

  Solo 
  in 
  questo 
  caso, 
  mentre 
  le 
  funzioni 
  di 
  [6] 
  x 
  non 
  mutano 
  forma 
  (in 
  quanto 
  

   il 
  gruppo 
  contiene 
  già 
  la 
  funzione 
  xp 
  — 
  2z), 
  nel 
  gruppo 
  [9], 
  alla 
  q 
  bisogna 
  sostituire 
  la 
  

  

  q 
  — 
  Ci(xp 
  — 
  2z). 
  

  

  Insomma 
  tutti 
  i 
  tipi 
  da 
  noi 
  determinati, 
  ad 
  eccezione 
  di 
  [21], 
  [22], 
  [23], 
  

   ammettono 
  un 
  rappresentante 
  che 
  contiene 
  il 
  sottogruppo 
  (4). 
  Ora 
  questo 
  gruppo 
  

   contiene 
  alla 
  sua 
  volta 
  il 
  sottogruppo 
  finito 
  

  

  (6) 
  1, 
  x, 
  p, 
  x 
  2 
  , 
  xp, 
  //-'. 
  

  

  il 
  quale, 
  come 
  nota 
  lo 
  Scheffers 
  ('). 
  ammette 
  tutte 
  e 
  sole 
  le 
  schiere 
  invarianti 
  oo 
  1 
  

   di 
  equazioni 
  della 
  forma 
  

  

  v(*/> 
  g) 
  = 
  cost,, 
  

  

  dove 
  uj 
  è 
  una 
  funzione 
  qualsiasi 
  dei 
  suoi 
  argomenti. 
  

  

  Ma 
  se 
  si 
  tien 
  conto 
  che 
  il 
  gruppo 
  (4) 
  contiene 
  anche 
  la 
  funzione 
  (arbitraria) 
  

   cp 
  («/), 
  cui 
  corrisponde, 
  all'infuori 
  del 
  segno, 
  la 
  trasformazione 
  infinitesima 
  

  

  «pW^ 
  + 
  «p'W 
  %■ 
  

  

  òz 
  ' 
  ^ 
  •' 
  òq 
  

   si 
  deduce 
  senz'altro 
  che 
  la 
  (2) 
  è 
  l'unica 
  schiera 
  oo 
  1 
  di 
  equazioni, 
  la 
  quale 
  sia 
  inva- 
  

  

  (') 
  Loc. 
  eit. 
  

  

  