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  PAOLO 
  PIZZETTI 
  2 
  

  

  dove 
  g 
  (lunghezza 
  ridotta 
  dell'arco 
  PM 
  secondo 
  la 
  denominazione 
  di 
  Chkistoffel) 
  sod- 
  

   disfa 
  all'equazione 
  : 
  

  

  (1) 
  &—-**• 
  

  

  essendo 
  K 
  la 
  curvatura 
  assoluta 
  della 
  superficie 
  in 
  M, 
  e 
  di 
  più 
  alle 
  condizioni: 
  

  

  (2) 
  5^ 
  = 
  0, 
  ^- 
  = 
  1, 
  per 
  » 
  = 
  0. 
  

  

  Se 
  la 
  superficie 
  ammette 
  in 
  ogni 
  punto 
  il 
  piano 
  tangente 
  e 
  se 
  la 
  giacitura 
  di 
  

   questo 
  piano 
  varia 
  con 
  continuità 
  da 
  un 
  punto 
  all'altro, 
  esistono 
  in 
  ogni 
  punto 
  e 
  

   sono 
  finiti 
  e 
  continui 
  i 
  valori 
  della 
  g 
  e 
  della 
  sua 
  derivata 
  prima 
  rispetto 
  ad 
  u 
  ( 
  x 
  ). 
  

   Ciò 
  si 
  verifica 
  pure 
  nei 
  punti 
  di 
  intersezione 
  della 
  geodetica 
  u 
  con 
  linee 
  lungo 
  le 
  

   quali 
  la 
  curvatura 
  K 
  presenti 
  discontinuità 
  ordinarie. 
  Tenuto 
  conto 
  di 
  ciò, 
  la 
  equa- 
  

   zione 
  (1) 
  insieme 
  colle 
  condizioni 
  (2) 
  definiscono 
  senza 
  ambiguità 
  il 
  valore 
  di 
  g 
  per 
  

   ogni 
  valore 
  di 
  « 
  e 
  di 
  v. 
  

  

  Per 
  una 
  sfera 
  di 
  raggio 
  R, 
  posto: 
  

  

  (3) 
  K 
  =-jp 
  , 
  

   l'espressione 
  di 
  g 
  è: 
  

  

  g' 
  = 
  tfsen 
  -| 
  = 
  -=- 
  sen(w 
  \K 
  ). 
  

  

  I 
  hi) 
  

  

  Poniamo: 
  

  

  (4) 
  f=9-9'- 
  

  

  Dalla 
  (1) 
  e 
  (2) 
  e 
  dalle 
  analoghe 
  per 
  g', 
  deduciamo: 
  

  

  (5) 
  £5 
  + 
  *tf=(*o-.Kto, 
  

  

  (6) 
  f=0, 
  |£ 
  = 
  per« 
  = 
  0. 
  

  

  Integrando 
  la 
  (5) 
  col 
  consueto 
  metodo 
  per 
  le 
  equazioni 
  differenziali 
  lineari 
  con 
  

   secondo 
  membro, 
  si 
  ottiene, 
  tenuto 
  conto 
  delle 
  (6): 
  

  

  f 
  = 
  Rcos^-^(K— 
  K 
  )gsen 
  f 
  •«*«— 
  i?sen 
  | 
  ^(K 
  -K 
  )gcos 
  | 
  

  

  du. 
  

  

  Sostituendo, 
  per 
  chiarezza, 
  sotto 
  i 
  segni 
  di 
  integrazione 
  la 
  lettera 
  x 
  alla 
  u, 
  e 
  

   sommando 
  i 
  due 
  integrali 
  in 
  un 
  solo: 
  

  

  f=-B^(K 
  x 
  -K 
  )g 
  x 
  Ben^ 
  

  

  dx 
  

  

  Christofpel, 
  Allg. 
  Theorie 
  des 
  Geodilt. 
  Dreiecks, 
  * 
  Abh. 
  Akad. 
  Berlin 
  , 
  (1868), 
  pagg. 
  131-2. 
  

  

  