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  INTORNO 
  AL 
  GRADO 
  DI 
  APPROSSIMAZIONE, 
  ECC. 
  257 
  

  

  dove 
  l'indice 
  x 
  sta 
  a 
  ricordare 
  che 
  nelle 
  espressioni 
  di 
  K 
  e 
  di 
  g 
  si 
  intende 
  sosti- 
  

   tuita 
  la 
  lettera 
  x 
  alla 
  u. 
  Quindi 
  finalmente, 
  per 
  la 
  (4): 
  

  

  (7) 
  g 
  = 
  -Rsen 
  J 
  + 
  B 
  ^g 
  x 
  (K 
  — 
  K,) 
  sen 
  ^=^ 
  . 
  dx 
  (k 
  = 
  ^-). 
  

  

  In 
  particolare, 
  per 
  B 
  = 
  oo 
  : 
  

  

  (8) 
  5 
  , 
  = 
  m 
  — 
  9xK 
  x 
  (u 
  — 
  x) 
  . 
  dx. 
  

  

  Le 
  formole 
  (7) 
  (8) 
  servono 
  nel 
  modo 
  migliore 
  al 
  paragone 
  dei 
  valori 
  che 
  assume 
  g 
  

   sopra 
  una 
  superficie 
  qualunque 
  con 
  quelli 
  che 
  in 
  particolare 
  sono 
  relativi 
  alla 
  sfera 
  

   di 
  raggio 
  qualunque 
  B, 
  e 
  al 
  piano. 
  

  

  Dalla 
  (7) 
  poi 
  si 
  deduce 
  che 
  se, 
  lungo 
  una 
  qualunque 
  geodetica 
  G 
  uscente 
  da 
  P, 
  

   la 
  curvatura 
  K 
  si 
  mantiene 
  inferiore 
  a 
  K 
  Q 
  — 
  1 
  : 
  B 
  2 
  , 
  la 
  g 
  (la 
  quale, 
  per 
  le 
  (2), 
  è 
  

   nulla 
  in 
  P 
  e 
  positiva 
  per 
  valori 
  abbastanza 
  piccoli 
  di 
  w) 
  non 
  potrà 
  annullarsi 
  se 
  

   non 
  per 
  valori 
  di 
  u 
  maggiori 
  di 
  nP. 
  Infatti, 
  finché 
  g 
  non 
  diventa 
  negativo 
  ed 
  w<ttP 
  

   il 
  2° 
  membro 
  della 
  (7) 
  si 
  conserva 
  maggior 
  di 
  zero. 
  Il 
  cangiamento 
  di 
  segno 
  di 
  g 
  non 
  

   può 
  dunque 
  aver 
  luogo 
  se 
  non 
  quando 
  u 
  abbia 
  oltrepassato 
  il 
  valore 
  nB. 
  

  

  Inversamente, 
  se 
  la 
  curvatura 
  K 
  si 
  mantiene 
  superiore 
  a 
  K 
  — 
  1 
  : 
  B 
  2 
  , 
  la 
  g 
  si 
  

   annullerà 
  (oltreché 
  in 
  P) 
  per 
  un 
  valore 
  almeno 
  di 
  u 
  inferiore 
  a 
  ttP. 
  Infatti, 
  posto 
  

   nella 
  (7) 
  a 
  = 
  tiP, 
  si 
  ha 
  per 
  g 
  il 
  valore 
  : 
  

  

  g 
  = 
  — 
  I 
  (K 
  x 
  — 
  K 
  )g 
  x 
  sen 
  (n 
  — 
  J-j 
  . 
  dx 
  

  

  e 
  (per 
  essere 
  K 
  X 
  >K 
  ) 
  l'uguaglianza 
  non 
  può 
  sussistere 
  se 
  g 
  x 
  non 
  assume 
  valori 
  

   negativi 
  fra 
  e 
  rcP 
  ( 
  1 
  ). 
  

  

  2. 
  — 
  Limiti 
  fra 
  i 
  quali 
  è 
  compreso 
  il 
  valore 
  di 
  g 
  per 
  ogni 
  valore 
  di 
  u. 
  

   Paragone 
  fra 
  una 
  superficie 
  qualunque 
  e 
  talune 
  sfere. 
  

  

  Consideriamo 
  ora 
  una 
  superficie 
  cosiffatta, 
  ovvero 
  una 
  porzione 
  di 
  superficie 
  

   limitata 
  in 
  guisa, 
  che 
  le 
  seguenti 
  condizioni 
  siano 
  soddisfatte 
  : 
  

  

  a) 
  la 
  curvatura 
  assoluta 
  sia 
  ovunque 
  positiva 
  e 
  finita; 
  

  

  b) 
  che 
  un 
  punto 
  scelto 
  a 
  piacere 
  determini, 
  insieme 
  col 
  polo, 
  una 
  sola 
  congiun- 
  

   gente 
  geodetica. 
  

  

  Questa 
  seconda 
  condizione 
  equivale 
  a 
  dire 
  che 
  la 
  quantità 
  g 
  non 
  si 
  annulli 
  in 
  

   alcun 
  punto 
  eccetto 
  che 
  nel 
  polo 
  delle 
  coordinate. 
  Per 
  quanto 
  è 
  detto 
  nel 
  paragrafo 
  

   precedente, 
  se 
  la 
  curvatura 
  K 
  non 
  supera 
  in 
  alcun 
  punto 
  il 
  limite 
  1 
  : 
  B], 
  la 
  condi- 
  

   zione 
  stessa 
  è 
  certamente 
  verificata 
  in 
  tutta 
  la 
  regione 
  limitata 
  da 
  una 
  circonferenza 
  

   geodetica 
  avente 
  centro 
  nel 
  polo 
  e 
  raggio 
  geodetico 
  = 
  ttP 
  x 
  . 
  

  

  (') 
  Questa 
  espressione 
  equivale 
  al 
  teorema 
  di 
  Bonnet 
  : 
  Se, 
  lungo 
  una 
  geodetica, 
  il 
  prodotto 
  dei 
  

  

  raggi 
  principali 
  di 
  curvatura 
  si 
  mantiene 
  positivo 
  e 
  inferiore 
  a 
  Rr, 
  la 
  curva 
  stessa 
  non 
  può 
  essere 
  di 
  

   minima 
  lunghezza 
  per 
  un 
  arco 
  eguale 
  o 
  superiore 
  a 
  itR. 
  

  

  Serie 
  II. 
  Tom. 
  LVII. 
  h 
  1 
  

  

  