﻿260 
  PAOLO 
  PIZZETTI 
  6 
  

  

  P) 
  Paragonando 
  invece 
  la 
  superficie 
  colla 
  sfera 
  la 
  cui 
  curvatura 
  è 
  uguale 
  al 
  

   minimo 
  valore 
  di 
  K, 
  si 
  ha: 
  

  

  (17') 
  D>0; 
  

  

  t) 
  Se 
  invece 
  intendiamo 
  che 
  K 
  = 
  1 
  : 
  R 
  2 
  esprima 
  la 
  curvatura 
  della 
  superficie 
  

   nel 
  polo 
  P 
  delle 
  coordinate 
  e 
  adottiamo 
  la 
  ipotesi 
  (10'), 
  la 
  (16) 
  porge: 
  

  

  D 
  < 
  — 
  r 
  £ 
  2 
  sen 
  — 
  . 
  dx 
  < 
  -t-^t. 
  

  

  99 
  )o 
  -R 
  499 
  

  

  D'altra 
  parte 
  (v 
  1 
  n° 
  2) 
  

  

  9 
  > 
  -tìw~ 
  sen 
  (« 
  V 
  -Ki). 
  

  

  9 
  ' 
  = 
  ik 
  sen(M 
  ® 
  ~ 
  ir 
  sen(M 
  ^ 
  

  

  gg' 
  > 
  -^ 
  B«B«(«/K3>«"(l 
  -yifi); 
  

   hi? 
  

  

  quindi: 
  

  

  (17") 
  D< 
  

  

  4P 
  

  

  dove: 
  

  

  P=l-±K 
  l 
  

  

  3 
  

   essendo, 
  al 
  solito, 
  indicato 
  con 
  K 
  y 
  il 
  massimo 
  valore 
  di 
  K. 
  

  

  4. 
  — 
  Paragone 
  dei 
  valori 
  di 
  g 
  per 
  due 
  superfìcie 
  qualunque. 
  

  

  La 
  forinola 
  (7) 
  può 
  essere 
  generalizzata 
  paragonando 
  fra 
  loro 
  due 
  superfìcie 
  

   qualunque 
  S, 
  S', 
  su 
  ciascuna 
  delle 
  quali 
  venga 
  assunto 
  un 
  sistema 
  di 
  coordinate 
  

   polari 
  geodetiche, 
  e 
  facendo 
  corrispondere 
  fra 
  loro 
  due 
  determinate 
  geodetiche 
  uscenti 
  

   dai 
  rispettivi 
  poli, 
  e, 
  su 
  queste, 
  due 
  punti 
  ai 
  quali 
  competano 
  valori 
  eguali 
  della 
  u. 
  

   Chiameremo 
  g,g', 
  K,K' 
  le 
  espressioni 
  della 
  lunghezza 
  ridotta 
  e 
  della 
  curvatura 
  asso- 
  

   luta 
  per 
  le 
  due 
  superficie 
  rispettive. 
  

  

  Dalle 
  (1), 
  (2) 
  e 
  dalle 
  analoghe 
  per 
  g 
  otteniamo 
  : 
  

  

  9-9' 
  = 
  0, 
  -^£^ 
  = 
  perw 
  = 
  0. 
  

  

  Può 
  quindi 
  la 
  differenza 
  g 
  — 
  g' 
  esprimersi 
  colla 
  formola 
  (7) 
  generalizzata 
  col 
  

  

  porvi 
  g' 
  in 
  luogo 
  di 
  JSsen 
  -|-, 
  KJ 
  invece 
  di 
  K 
  , 
  e 
  invece 
  di 
  sen 
  £^r 
  ponendo 
  quella 
  

  

  funzione 
  9(w, 
  x), 
  finita 
  per 
  tutti 
  i 
  valori 
  di 
  u 
  e 
  x 
  che 
  si 
  hanno 
  a 
  considerare 
  , 
  la 
  

   quale 
  soddisfa 
  alla 
  equazione: 
  

  

  (19) 
  ^A 
  =z 
  _ 
  K:MUtXh 
  

  

  