﻿7 
  INTORNO 
  AL 
  GRADO 
  DI 
  APPROSSIMAZIONE, 
  ECC. 
  261 
  

  

  e 
  di 
  più 
  alle 
  condizioni: 
  

  

  (20) 
  9 
  U=I 
  = 
  0, 
  (£)_=!• 
  

  

  Si 
  ha 
  così: 
  

   (21). 
  g 
  — 
  g' 
  = 
  Jj 
  £* 
  (JC' 
  — 
  -£*) 
  e(«, 
  x) 
  . 
  dx. 
  

  

  Derivando 
  infatti 
  otteniamo, 
  tenuto 
  conto 
  della 
  prima 
  delle 
  (20): 
  

  

  dove 
  le 
  lettere 
  K 
  e 
  g 
  senza 
  indice 
  denotano 
  funzioni 
  della 
  u. 
  

   Quindi, 
  per 
  le 
  (19), 
  (20): 
  

  

  ò 
  3 
  (ff 
  

  

  a 
  

  

  =^- 
  = 
  rfjF 
  - 
  JT) 
  - 
  K' 
  f" 
  ^.(-fir; 
  - 
  iQe( 
  M 
  , 
  0) 
  . 
  «te. 
  

  

  Eliminando 
  la 
  espressione 
  integrale 
  fra 
  questa 
  e 
  la 
  formola 
  (21) 
  si 
  vede 
  che 
  

   la 
  prima 
  delle 
  (18) 
  è 
  verificata. 
  Le 
  altre 
  due 
  lo 
  sodo 
  evidentemente. 
  

  

  Quanto 
  alla 
  6(w, 
  x) 
  essa 
  può 
  esprimersi 
  facilmente 
  per 
  mezzo 
  della 
  g' 
  ('). 
  Ma 
  

   a 
  noi 
  basta, 
  per 
  quanto 
  riguarda 
  l'esistenza 
  e 
  le 
  proprietà 
  della 
  funzione 
  stessa, 
  

   osservare 
  che 
  essa, 
  definita 
  dalle 
  (19) 
  e 
  (20), 
  non 
  è 
  altro 
  che 
  la 
  novella 
  espressione 
  

   che 
  assume 
  il 
  coefficiente 
  g' 
  (sulla 
  sup. 
  S') 
  quando 
  il 
  polo 
  delle 
  coordinate 
  si 
  sposti 
  

   per 
  un 
  arco 
  x 
  lungo 
  il 
  raggio 
  geodetico 
  che 
  si 
  considera. 
  da 
  questa 
  riflessione, 
  

   oppure 
  dalle 
  (19) 
  e 
  (20), 
  deduciamo 
  che, 
  analogamente 
  alle 
  (9), 
  (10), 
  vale 
  per 
  la 
  9 
  la 
  

   doppia 
  disuguaglianza 
  : 
  

  

  m 
  — 
  x>Q(u,x)>u 
  — 
  x 
  ~ 
  Ki, 
  (w<w) 
  

  

  dove 
  Ki 
  è 
  il 
  massimo 
  valore 
  della 
  curvatura 
  assoluta 
  della 
  S' 
  . 
  

  

  Poniamo 
  ora 
  che 
  fra 
  le 
  curvature 
  assolute 
  delle 
  due 
  superficie 
  in 
  punti 
  corri- 
  

   spondenti 
  passi 
  la 
  relazione: 
  

  

  (23) 
  \K' 
  — 
  K\<hu 
  n 
  , 
  

  

  dove 
  h 
  è 
  una 
  costante 
  finita 
  ed 
  n 
  un 
  numero 
  positivo. 
  La 
  (21) 
  darà: 
  

  

  fu 
  fu 
  3,.,n 
  

  

  x 
  n+l 
  Q{u, 
  x) 
  . 
  dx 
  < 
  h 
  I 
  x 
  n+1 
  (u 
  — 
  x)dx 
  = 
  j-^ 
  { 
  

  

  Si 
  può 
  poi 
  come 
  nel 
  n° 
  3 
  cercare 
  un'espressione 
  della 
  differenza 
  

  

  (24) 
  D 
  =^&-±.&.= 
  s 
  ± 
  T 
  \(g-tf)M—f(*.-.M.)l 
  

  

  ' 
  g 
  ' 
  òu 
  g 
  du 
  gg 
  f 
  ^ 
  v 
  ' 
  ou 
  v 
  \ou 
  òu 
  I 
  ) 
  

  

  +3 
  

  

  (H-3) 
  • 
  

  

  (') 
  Vedi 
  Dabboux, 
  Legons 
  sur 
  la 
  théorie 
  gin. 
  des 
  surfaces, 
  III 
  p 
  e 
  , 
  629. 
  Ivi 
  è 
  pure 
  data 
  la 
  for- 
  

   mola 
  (21). 
  

  

  