﻿266 
  PAOLO 
  PIZZETTI 
  12 
  

  

  Osserviamo 
  che, 
  essendo 
  k 
  x 
  non 
  maggiore 
  di 
  quel 
  limite 
  che 
  nei 
  numeri 
  prece- 
  

   denti 
  è 
  indicato 
  con 
  K 
  x 
  , 
  e 
  il 
  triangolo 
  PAB 
  essendo 
  compreso 
  nell'emisferoide 
  relativo 
  

  

  a 
  P, 
  i 
  lati 
  PA, 
  PB 
  non 
  potranno 
  essere 
  maggiori 
  di 
  ~ 
  B 
  lt 
  il 
  quale 
  è 
  alla 
  sua 
  volta 
  

  

  minore 
  di 
  y 
  B 
  2 
  . 
  Quindi 
  gli 
  archi 
  P 
  X 
  A 
  1 
  , 
  P 
  1 
  B 
  l 
  sulla 
  sfera 
  S 
  x 
  , 
  e 
  gli 
  archi 
  P 
  2 
  A 
  2 
  , 
  P 
  2 
  B 
  2 
  

  

  sulla 
  S 
  2 
  non 
  saranno 
  maggiori 
  di 
  un 
  quarto 
  del 
  rispettivo 
  cerchio 
  massimo. 
  

  

  Facciamo 
  corrispondere 
  punto 
  a 
  punto 
  gli 
  archi 
  geodetici 
  AB, 
  A 
  x 
  B 
  lt 
  A 
  2 
  B 
  2 
  in 
  

   guisa 
  che 
  a 
  punti 
  corrispondenti 
  competano 
  uguali 
  valori 
  della 
  u. 
  Ciò 
  è 
  legittimo 
  

   di 
  fare 
  in 
  quanto 
  che 
  lungo 
  l'arco 
  AB 
  (v. 
  n. 
  precedente) 
  la 
  u 
  cresce 
  di 
  continuo 
  

   da 
  w 
  ad 
  u, 
  e 
  lo 
  stesso 
  avviene 
  lungo 
  gli 
  archi 
  A 
  X 
  B 
  X 
  , 
  A 
  2 
  B 
  2 
  . 
  

  

  Chiamiamo 
  6 
  l'angolo 
  PBA; 
  9 
  X 
  , 
  9 
  2 
  gli 
  angoli 
  corrispondenti 
  sulle 
  due 
  sfere; 
  

   integrando 
  le 
  (3') 
  ed 
  osservando 
  che 
  log 
  sen 
  9 
  = 
  0, 
  avremo: 
  

  

  logsenG 
  = 
  - 
  f" 
  L 
  M. 
  du< 
  

  

  J«o 
  9 
  o" 
  

  

  logsen6i 
  = 
  — 
  — 
  -p- 
  du, 
  logsen6 
  2 
  = 
  — 
  — 
  -p- 
  du, 
  

  

  J«o 
  !'\ 
  ÒU 
  .Ino 
  9ì 
  ou 
  ' 
  

  

  ove 
  g 
  t 
  g 
  2 
  indicano 
  le 
  espressioni 
  di 
  g 
  per 
  le 
  sfere 
  S 
  u 
  S 
  2 
  rispettivamente. 
  

   Sottraendo 
  abbiamo: 
  

  

  ° 
  sen9, 
  .IkoV.Oi 
  "" 
  9 
  »u 
  / 
  

  

  senOj 
  )«o\9t 
  0« 
  9 
  d« 
  / 
  

  

  Ora 
  per 
  quanto 
  si 
  è 
  detto 
  al 
  n° 
  4. 
  le 
  espressioni 
  integrando 
  sono 
  negativa 
  la 
  

   prima, 
  positiva 
  la 
  seconda; 
  quindi, 
  poiché 
  gli 
  angoli 
  9, 
  9 
  l7 
  9 
  3 
  sono 
  compresi 
  fra 
  

  

  e 
  -jp 
  sarà: 
  

  

  (32) 
  9 
  t 
  >9>9 
  2 
  . 
  

  

  Indichiamo 
  con 
  v, 
  v 
  u 
  v 
  2 
  gli 
  angoli 
  in 
  P, 
  P 
  u 
  P 
  2 
  nei 
  tre 
  triangoli. 
  Avremo, 
  inte- 
  

   grando 
  la 
  (30): 
  

  

  Tu 
  1 
  

  

  tangO 
  . 
  du. 
  

  

  J«o 
  </ 
  

  

  Scrivendo 
  le 
  espressioni 
  analoghe 
  per 
  v 
  lf 
  ei 
  a 
  ed 
  osservando 
  che, 
  per 
  punti 
  corri- 
  

   spondenti, 
  sono 
  soddisfatte 
  le 
  (32) 
  e 
  di 
  più 
  (n° 
  2, 
  osservazioni 
  a 
  e 
  3): 
  

  

  9i<9<9ì 
  

   avremo 
  : 
  

  

  (33) 
  v 
  l 
  >v>i 
  ì 
  . 
  

  

  Finalmente, 
  chiamando 
  s, 
  s 
  v 
  s 
  2 
  le 
  lunghezze 
  rispetta 
  dei 
  tre 
  archi 
  AB, 
  A 
  X 
  B 
  U 
  

   A 
  2 
  B 
  2 
  si 
  ha 
  dalla 
  (28): 
  

  

  du 
  

  

  

  ed 
  analoghe. 
  

  

  «0 
  

  

  cose 
  

  

  