﻿15 
  INTORNO 
  AL 
  GRADO 
  DI 
  APPROSSIMAZIONE, 
  ECC. 
  269 
  

  

  Un 
  triangolo 
  PAB 
  del 
  quale 
  gli 
  angoli 
  in 
  A 
  e 
  B 
  siano 
  acuti 
  può 
  essere 
  diviso 
  

   in 
  due 
  triangoli 
  rettangoli 
  col 
  condurre 
  da 
  P 
  la 
  geodetica 
  PH 
  ortogonale 
  sopra 
  AB. 
  

   Si 
  costruiscano 
  allora 
  sulla 
  sfera 
  S 
  t 
  la 
  coppia 
  di 
  triangoli 
  P 
  1 
  H 
  1 
  A 
  1 
  , 
  P 
  1 
  H 
  1 
  B 
  1 
  rettangoli 
  

   in 
  K 
  x 
  coi 
  cateti 
  uguali 
  a 
  quelli 
  omonimi 
  dei 
  triangoli 
  PHA, 
  PHB. 
  E 
  si 
  costruiscano 
  

   sulla 
  S 
  2 
  i 
  triangoli 
  P 
  2 
  H 
  2 
  A 
  2 
  , 
  P 
  2 
  H 
  2 
  B 
  2 
  colle 
  analoghe 
  condizioni. 
  Avremo 
  così 
  sulle 
  

   due 
  sfere 
  due 
  triangoli 
  sferici 
  che 
  avranno 
  ciascuno 
  un 
  lato 
  {A^B^, 
  A 
  2 
  B 
  2 
  ) 
  uguale 
  

   al 
  lato 
  AB 
  del 
  dato 
  triangolo 
  geodetico. 
  Gli 
  altri 
  5 
  elementi 
  del 
  triangolo 
  geodetico 
  

   PAB 
  saranno 
  compresi 
  fra 
  i 
  corrispondenti 
  elementi 
  dei 
  due 
  triangoli 
  sferici. 
  

  

  9. 
  — 
  Paragone 
  di 
  un 
  triangolo 
  geodetico 
  rettangolo 
  con 
  un 
  triangolo 
  

   sferico 
  rettangolo 
  descritto 
  sopra 
  la 
  così 
  detta 
  sfera 
  osculatrice 
  

   in 
  uno 
  dei 
  vertici. 
  

  

  Chiamiamo 
  per 
  comodità 
  e 
  seguendo 
  l'uso 
  di 
  taluni 
  trattatisti, 
  sfera 
  osculatrice 
  

   in 
  un 
  punto 
  di 
  una 
  superficie, 
  una 
  sfera 
  il 
  cui 
  raggio 
  sia 
  uguale 
  alla 
  inversa 
  della 
  

   radice 
  quadrata 
  della 
  curvatura 
  assoluta 
  della 
  superficie 
  in 
  quel 
  punto. 
  

  

  Paragoneremo 
  ora 
  il 
  triangolo 
  geodetico 
  PAB, 
  rettangolo 
  in 
  A, 
  con 
  uno 
  sferico 
  

   P'A'B', 
  rettangolo 
  in 
  A' 
  e 
  descritto 
  sulla 
  sfera 
  osculatrice 
  in 
  P. 
  Il 
  raggio 
  di 
  questa 
  

   sfera 
  sarà 
  1 
  : 
  ìJK 
  se, 
  colla 
  notazione 
  del 
  n. 
  2, 
  chiamiamo 
  K 
  la 
  curvatura 
  assoluta 
  

   della 
  superficie 
  in 
  P. 
  

  

  Supporremo 
  : 
  

  

  arco 
  (P'A') 
  = 
  {PA) 
  = 
  u 
  , 
  

  

  arco 
  (P'B') 
  = 
  {PB) 
  = 
  u, 
  

  

  e, 
  facendo 
  corrispondere 
  ad 
  un 
  punto 
  M 
  qualunque 
  della 
  geodetica 
  AB 
  il 
  punto 
  M 
  ' 
  

   sull'arco 
  di 
  cerchio 
  massimo 
  A'B' 
  pel 
  quale 
  arco 
  (P'M') 
  = 
  arco 
  {PM), 
  avremo 
  come 
  

   nel 
  n. 
  7: 
  

  

  (38) 
  logsene 
  - 
  logsenO' 
  = 
  f 
  B 
  (if-ì 
  &) 
  

  

  du 
  

  

  dove 
  9' 
  esprime 
  l'angolo 
  in 
  B' 
  nel 
  triangolo 
  sferico 
  e 
  con 
  g' 
  è 
  indicata 
  l'espressione 
  

   di 
  g 
  perla 
  sfera 
  di 
  raggio 
  1:\/K 
  . 
  Ora 
  abbiamo 
  veduto 
  (n° 
  3) 
  che, 
  se 
  per 
  un 
  punto 
  

   qualsiasi 
  della 
  superficie 
  si 
  ha: 
  

  

  \K-K 
  \<hu, 
  

  

  la 
  espressione 
  sotto 
  il 
  segno 
  integrale 
  soddisfa 
  alla 
  diseguaglianza 
  (17"). 
  Avremo 
  

   dunque 
  : 
  

  

  hu 
  2 
  . 
  du 
  

  

  | 
  log 
  senO 
  — 
  log 
  senG' 
  j 
  < 
  -r- 
  \ 
  — 
  ^r 
  

  

  T 
  u% 
  

  

  dove 
  k 
  y 
  è 
  il 
  massimo 
  valore 
  di 
  K 
  nella 
  regione 
  occupata 
  dal 
  triangolo 
  PAB. 
  (Distin- 
  

   guiamo, 
  per 
  chiarezza, 
  k 
  x 
  massimo 
  di 
  K 
  nella 
  regione 
  occupata 
  dal 
  triangolo, 
  da 
  A' 
  x 
  

   massimo 
  di 
  K 
  su 
  tutta 
  la 
  superficie 
  o 
  porzione 
  di 
  superficie 
  che 
  occorre 
  considerare. 
  

  

  