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  PAOLO 
  PIZZETTI 
  24 
  

  

  15. 
  — 
  Procedimento 
  relativo 
  a 
  metodi 
  iriù 
  generali 
  

   di 
  risoluzione 
  approssimata. 
  

  

  Assunto 
  sulla 
  superficie 
  S 
  e 
  nella 
  regione 
  limitata, 
  intorno 
  ad 
  un 
  punto 
  P, 
  nel 
  

   modo 
  detto 
  al 
  n. 
  6, 
  il 
  solito 
  sistema 
  di 
  coordinate 
  polari 
  geodetiche, 
  polo 
  in 
  P, 
  ed 
  

   assegnati 
  due 
  punti 
  A(u 
  , 
  v 
  ), 
  B(u, 
  v), 
  il 
  terzo 
  lato 
  s 
  = 
  (AB) 
  e 
  l'angolo 
  in 
  B 
  del 
  

   triangolo 
  geodetico 
  PAB, 
  considerati 
  come 
  funzioni 
  di 
  u 
  e 
  v, 
  soddisfanno 
  alle 
  equa- 
  

   zioni 
  differenziali 
  : 
  

  

  (lj 
  tr 
  = 
  cos9, 
  (2) 
  & 
  = 
  9- 
  sene. 
  

  

  Poniamo 
  ora 
  che, 
  mediante 
  un 
  procedimento 
  qualsiasi, 
  si 
  siano 
  espressi 
  gli 
  

   elementi 
  s 
  e 
  6 
  mediante 
  le 
  forinole 
  approssimate 
  : 
  

  

  (3) 
  • 
  s 
  = 
  s(«, 
  r, 
  u 
  , 
  v 
  ) 
  , 
  Q 
  — 
  Q(u,v, 
  w 
  , 
  v 
  ) 
  , 
  

  

  dove 
  i 
  secondi 
  membri 
  sono 
  funzioni 
  finite 
  insieme 
  colle 
  loro 
  derivate 
  di 
  ordine 
  

   qualunque 
  rispetto 
  alle 
  u 
  e 
  v, 
  per 
  tutti 
  i 
  valori 
  v 
  e 
  v 
  da 
  a 
  2tt, 
  e 
  per 
  tutti 
  i 
  valori 
  

   di 
  m 
  e 
  m 
  da 
  fino 
  al 
  limite 
  massimo 
  u 
  t 
  definito 
  al 
  n. 
  6. 
  Affinchè 
  le 
  (3) 
  diano 
  una 
  

   risoluzione 
  approssimata 
  del 
  triangolo 
  geodetico, 
  occorrerà 
  naturalmente 
  che 
  quelle 
  

   espressioni 
  di 
  s 
  e 
  6 
  sostituite 
  nella 
  (1) 
  la 
  soddisfacciano 
  con 
  una 
  certa 
  approssima- 
  

   zione; 
  e 
  che 
  le 
  stesse 
  espressioni 
  sostituite 
  nella 
  (2) 
  forniscano 
  per 
  g 
  una 
  espressione, 
  

   che 
  diremo 
  g, 
  la 
  quale, 
  sviluppata 
  in 
  serie 
  rispetto 
  ad 
  u, 
  coincida, 
  per 
  un 
  certo 
  

   numero 
  di 
  termini, 
  col 
  noto 
  sviluppo 
  di 
  </ 
  : 
  

  

  (dove 
  a 
  è 
  il 
  valore 
  della 
  curvatura 
  K 
  in 
  P, 
  ed 
  l 
  il 
  valore, 
  per 
  u 
  = 
  v, 
  della 
  derivata 
  

   dK:du). 
  

  

  Noi 
  supporremo, 
  in 
  ogni 
  caso, 
  che 
  1p 
  forinole 
  d'approssimazione 
  (3) 
  siano 
  tali 
  

   che 
  l'espressione 
  g' 
  della 
  g 
  dedotta 
  dalla 
  (2) 
  per 
  mezzo 
  delle 
  (3) 
  soddisfaccia 
  alle 
  

   condizioni 
  seguenti 
  : 
  

  

  1° 
  che, 
  per 
  w 
  =0, 
  sia 
  g' 
  — 
  0, 
  ■£- 
  = 
  1 
  ; 
  

  

  2° 
  che 
  il 
  rapporto 
  ^ 
  '' 
  assuma, 
  per 
  u 
  = 
  0, 
  un 
  valore 
  indipendente 
  da 
  v; 
  

  

  3° 
  che 
  la 
  derivata 
  -r- 
  (— 
  -r4-) 
  assuma, 
  per 
  u 
  = 
  0, 
  un'espressione 
  della 
  forma: 
  

  

  Z 
  cos 
  v 
  -\- 
  m 
  sen 
  v 
  

  

  dove 
  l 
  ed 
  m 
  sono 
  indipendenti 
  da 
  v 
  ; 
  

  

  4° 
  Nel 
  caso 
  che 
  la 
  derivata 
  ora 
  dettasi 
  annullasse 
  identicamente 
  per 
  « 
  = 
  0, 
  

   la 
  derivata 
  successiva 
  rispetto 
  ad 
  w 
  dovrà 
  assumere, 
  per 
  « 
  = 
  0, 
  un'espressione 
  della 
  

   forma 
  : 
  

  

  li 
  cos 
  2 
  » 
  -f- 
  2m 
  1 
  cost> 
  . 
  senz> 
  + 
  «i 
  sen 
  2 
  « 
  

  

  dove 
  l 
  u 
  m 
  u 
  n^ 
  sono 
  indipendenti 
  da 
  r. 
  E 
  così 
  di 
  seguito. 
  

  

  