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  INTORNO 
  AL 
  GRADO 
  DI 
  APPROSSIMAZIONE, 
  ECC. 
  279 
  

  

  Quando 
  tali 
  condizioni 
  siano 
  soddisfatte, 
  esisterà 
  una 
  superficie 
  ( 
  x 
  ) 
  S' 
  tale 
  che 
  

   la 
  forma 
  del 
  quadrato 
  dell'elemento 
  lineare 
  di 
  essa, 
  in 
  coordinate 
  poi. 
  geodetiche, 
  

   sia 
  della 
  forma 
  : 
  

  

  ds' 
  ì 
  = 
  dit 
  2 
  + 
  g' 
  2 
  , 
  dv 
  2 
  . 
  

  

  Allora 
  le 
  forinole 
  (3), 
  dato 
  che 
  soddisfacciano 
  alla 
  (1), 
  risolveranno 
  esattamente 
  

   il 
  problema 
  del 
  calcolo 
  di 
  s 
  e 
  9 
  per 
  questa 
  superficie 
  ausiliaria 
  S'. 
  

   Ciò 
  posto, 
  si 
  calcoli 
  colla 
  formola 
  : 
  

  

  (4) 
  K' 
  

  

  ì 
  ay 
  

  

  9 
  dir 
  

  

  la 
  curvatura 
  della 
  superficie 
  S'; 
  e 
  quella 
  K 
  della 
  data 
  superficie 
  S 
  si 
  sviluppi 
  colla 
  

   serie 
  : 
  

  

  ( 
  5 
  , 
  *-*+-6M(S5l+ 
  r 
  

  

  che, 
  prolungata 
  per 
  un 
  conveniente 
  numero 
  di 
  termini, 
  scriveremo 
  nella 
  forma: 
  

   (5') 
  K 
  = 
  f(u,v) 
  + 
  B, 
  

  

  dove 
  R 
  è 
  il 
  resto 
  del 
  quale 
  intenderemo 
  valutato 
  un 
  limite 
  superiore 
  L 
  per 
  ogni 
  

   valore 
  di 
  u. 
  

  

  Consideriamo 
  ora 
  la 
  geodetica 
  AM 
  la 
  quale 
  sulla 
  superficie 
  5 
  parte 
  dal 
  punto 
  

   A(ti 
  v 
  ) 
  facendo 
  un 
  angolo 
  retto 
  col 
  raggio 
  geodetico 
  PA, 
  e 
  analogamente 
  sulla 
  <S" 
  

   la 
  geodetica 
  A' 
  M' 
  che 
  parte 
  dal 
  punto 
  A'(u 
  v 
  ) 
  ad 
  angolo 
  retto 
  con 
  P'A'. 
  Facciamo 
  

   corrispondere 
  punto 
  a 
  punto 
  le 
  due 
  geodetiche 
  AM, 
  A'M', 
  in 
  guisa 
  che 
  a 
  punti 
  corri- 
  

   spondenti 
  M, 
  M' 
  competano 
  uguali 
  valori 
  della 
  u. 
  

  

  Allora 
  paragonando 
  ciascuno 
  dei 
  due 
  triangoli 
  geodetici 
  PAM, 
  P 
  1 
  'A'M' 
  con 
  un 
  

   triangolo 
  sferico 
  rettangolo 
  come 
  si 
  è 
  fatto 
  nei 
  nn. 
  9, 
  10, 
  11, 
  risulta 
  che 
  la 
  diffe- 
  

   renza 
  v 
  — 
  v' 
  pei 
  punti 
  corrispondenti 
  M, 
  M' 
  sarà 
  al 
  più 
  eguale 
  a 
  : 
  

  

  (6) 
  0,115. 
  «■ 
  (± 
  + 
  £) 
  

  

  dove 
  h 
  e 
  Q 
  sono 
  le 
  quantità 
  definite 
  in 
  quei 
  paragrafi 
  per 
  la 
  superficie 
  S, 
  ed 
  h' 
  Q' 
  

   le 
  quantità 
  analoghe 
  per 
  la 
  S'. 
  

  

  Dalle 
  formole 
  (4) 
  e 
  (5') 
  si 
  potrà 
  dedurre 
  una 
  espressione 
  del 
  limite 
  superiore 
  

   della 
  differenza 
  : 
  

  

  \K-K'\ 
  

  

  pei 
  punti 
  corrispondenti 
  M, 
  M' 
  , 
  osservando 
  (è 
  bene 
  ricordarlo), 
  che 
  alla 
  coordinata 
  u 
  

   va 
  attribuito 
  lo 
  stesso 
  valore 
  in 
  (4) 
  e 
  in 
  (5'), 
  mentre 
  alla 
  v 
  vanno 
  attribuiti 
  rispettiva- 
  

  

  (') 
  È 
  superfluo 
  osservare 
  che 
  la 
  natura 
  di 
  questa 
  superficie 
  ausiliaria 
  dipenderà 
  generalmente, 
  

   oltreché 
  dalla 
  forma 
  delle 
  (3), 
  anche 
  dalle 
  coordinate 
  u 
  v 
  del 
  vertice 
  A 
  del 
  triangolo 
  geodetico 
  dnto 
  

   -.sulla 
  S.~ 
  

  

  