36 CARLO LUIGI RICCI 



§ 5. — Veniamo ora a studiare le forze — o coppie — che producono semplice 

 rotazione — o traslazione. 



La diname si riduce ad una forza unica se polo e polare si appartengono : quindi 

 si ricava immediatamente da quanto si vide al § 3 che una forza unica produce sola 

 rotazione se la sua proiezione p su tt è la retta congiungente il suo punto d'appli- 

 cazione X col coniugato di questo nella omografia Q _1 , oppure in altri termini, se il 

 suo punto di applicazione X è l'intersezione della sua proiezione p colla retta coniu- 

 gata di questa nell'omografia Q. 



Analoghe proprietà sussistono per le rotazioni prodotte da semplici forze. 



Quindi si deduce che per ogni punto X di ir passa una rettaci, in guisa che 

 una forza applicata in X e proiettantesi in p produce una rotazione semplice : la cor- 

 rispondenza tra i punti X e le rette p è una trasformazione quadratica, giacché è 

 facile convincersi che se il punto X descrive una retta, la retta p inviluppa una conica, 

 ovvero se la retta p descrive un fascio, il punto X descrive una conica. 



In questa corrispondenza gli elementi omologhi si appartengono. 



Ad ogni punto X possiamo far corrispondere il punto P 1 , intersezione delle due 

 antipolari di X rispetto alle due ellissi 1 e 2 ; la corrispondenza (X — P x ) è una 

 corrispondenza quadratica, cioè se X descrive una retta, P x descrive una conica ; 

 essa è poi involutoria, cioè coincide colla sua inversa (P 1 — X) (*). 



La corrispondenza (X — p) si può considerare come il prodotto della (X — Pj) 

 e della antipolarità (P t — p) rispetto all'ellisse 1. La corrispondenza (X — P x ) fu 

 studiata per la prima volta dal Poncelet nel celebre Tratte des propriétés projectives 

 des figures (1822). 



Essa è caso particolarissimo delle trasformazioni più generali studiate poi dal 

 Cremona, le quali da lui presero il nome di trasformazioni Cremoniane. 



Studieremo alcune proprietà della corrispondenza (X — P t ), e da queste, trasfor- 

 mando gli elementi del secondo piano mediante la antipolarità (P x — p) rispetto 

 all'ellisse 1, dedurremo analoghe proprietà della trasformazione (X — p); è preferibile 

 procedere in questo modo, anziché direttamente, sia perchè la trasformazione (X — P x ) 

 è già stata studiata, sia per poter utilizzare la proprietà involutoria della corrispon- 

 denza stessa. 



La trasformazione quadratica (X — PJ ha un triangolo fondamentale che indi- 

 cheremo con TJVW, il quale altro non è che il triangolo degli elementi uniti nella 

 omografia Q ; ossia il triangolo antipolare comune alle due ellissi 1 e 2 (**). Ad ogni 

 vertice di questo triangolo corrisponde un punto qualunque del lato opposto: le 

 coniche corrispondenti alle rette del piano sono tutte circoscritte a tale triangolo, 

 e costituiscono quindi una rete di coniche; se una retta passa per un vertice del 



(*) Questa corrispondenza quadratica, ed il relativo triangolo fondamentale servirono anche 

 nello studio di altro problema meccanico, affatto diverso da quello qui considerato. Cfr. M. Panetti, 

 Contributo alla trattazione grafica dell'arco continuo su appoggi elastici, * Memorie della R. Accademia 

 delle Scienze di Torino „, 1901. 



(**) Sulle omografie prodotti di due polarità e sui triangoli autopolari comuni, cfr. Sannia, 

 Lezioni di geometria proiettiva, Napoli, 1895, pagg. 527-540. 



